Квантовая статистика из (анти)коммутационных соотношений операторов?

Для одного вида бозонов/фермионов без взаимодействий гамильтониан равен

$$\begin{align} H &=\sum_k \omega_k a_k^\dagger a_k \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ H &=\sum_k \omega_k c_k^\dagger c_k \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{1} \end{align}$$ с $$\begin{align} a_ia_j - a_j a_i = 0 \hskip1cm a_ia_j^\dagger - a_j^\dagger a_i &=\delta_{ij} \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ c_ic_j + c_j c_i = 0 \hskip1cm c_ic_j^\dagger + c_j^\dagger c_i &=\delta_{ij} \hskip1cm\text{(fermion)}. \tag{2} \end{align}$$ Вакуумное состояние$|0\rangle$, с нулевыми частицами, удовлетворяет $$\begin{align} a_k|0\rangle &=0 \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ c_k|0\rangle &=0 \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{3} \end{align}$$ для всех режимов$k$. Каждое приложение$a_k^\dagger$или$c_k^\dagger$в вакуумное состояние создает частицу в режиме$k$. Оператор $$\begin{align} N_k &= a_k^\dagger a_k \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ N_k &= c_k^\dagger c_k \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{4} \end{align}$$ подсчитывает количество частиц в$k$-й режим, потому что состояние$|\psi\rangle$что удовлетворяет $$N_k|\psi\rangle=n_k|\psi\rangle \tag{5}$$ имеет$n_k$частицы в$k$-й режим. Чтобы увидеть это, используйте уравнения (2), чтобы вывести $$\begin{align} N_k a_j^\dagger &= a_j^\dagger (N_k+\delta_{jk}) \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ N_k c_j^\dagger &= c_j^\dagger (N_k+\delta_{jk}) \hskip1cm\text{(fermion)}. \tag{5b} \end{align}$$ Состояние, которое удовлетворяет $$H|\psi\rangle=E_\psi|\psi\rangle \tag{6}$$ имеет полную энергию$E_\psi$.

Сопряженное к нижнему левому уравнению в (2) влечет$(c_k^\dagger)^2=0$, так$n_k\in\{0,1\}$для фермионов. Бозонная версия уравнения (2) не накладывает такого ограничения, поэтому$n_k\in\{0,1,2,3,...\}$для бозонов.

Вот как это используется в статистической механике. Если система бозон/фермион находится в тепловом равновесии с какой-либо другой (несмоделированной) системой, то математическое ожидание любой наблюдаемой$X$связанный с системой бозон/фермион

$$\rho(X) = \frac{1}{Z}\sum_\psi e^{-\beta E_\psi} \frac{\langle \psi|X|\psi\rangle}{ \langle \psi|\psi\rangle} \hskip2cm Z\equiv \sum_\psi e^{-\beta E_\psi} \tag{7}$$ где сумма ведется по состояниям, удовлетворяющим (6). Для фотонов сумма ведется по всем состояниям, удовлетворяющим (6). Для системы бозонов материи (или фермионов) сумма обычно ограничивается состояниями с заданным общим числом частиц.

Распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака получаются с использованием (7) для расчета$\rho(N_k)$, среднее количество занятий в заданном режиме. Этот расчет может быть выполнен с использованием идентификатора оператора

$$H = \sum_k\omega_k N_k \tag{8}$$ получить $$E_\psi = \sum_k\omega_k n_k, \tag{9}$$ где$E_\psi$и$n_k$определяются уравнениями (5)-(6). Используйте это в (7), чтобы получить $$\rho(N_k) = \frac{\sum_\psi e^{-\beta E_\psi}n_k}{ \sum_\psi e^{-\beta E_\psi}} \tag{10}$$ что тоже можно написать $$\rho(N_k) = -\beta^{-1}\frac{\partial}{\partial\omega_k} \log Z \tag{11}$$ с функцией распределения$Z$определяемый в (7), рассматриваемый как функция энергетических коэффициентов$\omega_k$.

Выводы распределений Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака в типичных книгах по статистической механике, таких как глава 9 книги Рейфа « Статистическая и тепловая физика» , начинаются со следующих компонентов:

• уравнения (9) и (11), которые являются уравнениями (9.2.1) и (9.2.5) в Рейфе соответственно;

• дело в том, что$n_k$неограничен для бозонов и ограничен$n_k\in\{0,1\}$для фермионов (из-за уравнения (2), как упоминалось выше), которые представляют собой уравнения (9.2.13) и (9.2.15) в Рейфе;

• ограничение (если есть) на общее количество частиц$\sum_k n_k$, которое представляет собой уравнение (9.2.14) и (9.2.16) в Reif. Это ограничение приводит к «химическому потенциалу», обычно обозначаемому$\mu$.

Вывод с этого момента стандартный, поэтому я не буду повторять его здесь.