Противодействующие силы на круговой петле под током в магнитном поле?

Question

Противодействующие силы на круговой петле под током в магнитном поле?

Кагарач

У меня есть следующая общая концептуальная проблема.

Представьте себе тонкую проводящую петлю радиусом $R$ помещен в $x$ - $y$ -самолет в $z=0$ . Существует однородная плотность тока $\vec{j}$ прохождение через этот цикл:

\vec{Дж} (\vec{р}) "=" | Дж | дельта (г) дельта ({Икс}^{2} + у^{2} - р^{2}) \frac{- у {\vec{е}}_{Икс} + Икс {\vec{е}}_{у}}{\sqrt{{Икс}^{2} + у^{2}}}

$\vec{j}(\vec{r})=|j|\delta(z)\delta(x^2+y^2-R^2)\frac{-y\,\vec{e}_x+x\,\vec{e}_y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

По определению, эта петля имеет магнитный момент:

\vec{м} "=" \frac{1}{2} \int г^{3} р (\vec{р} \times \vec{Дж} (\vec{р})) "=" - | Дж | π р {\vec{е}}_{г}

$\vec{m}=\frac{1}{2}\int d^3r\,\left(\vec{r}\times\vec{j}(\vec{r})\right)=-|j|\pi R\,\vec{e}_z$

Теперь представьте, что появляется магнитное поле, которое локально можно описать как:

\vec{Б} "=" б_{0} г {\vec{е}}_{г}

$\vec{B}=b_0 z\,\vec{e}_z$

Если мы спросим себя, какова будет электромагнитная сила, действующая на петлю, у нас есть два уравнения, которые могут дать нам ответ. (Два ответа должны быть одинаковыми, но, как ни странно, это не так). Первое уравнение представляет собой прямое определение силы Лоренца:

{\vec{Ф}}_{1} "=" \int г^{3} р (\vec{Дж} (\vec{р}) \times \vec{Б})

$\vec{F}_1=\int d^3r\,\left(\vec{j}(\vec{r})\times\vec{B}\right)$

А второе уравнение использует магнитный момент (и также точно для этого простого магнитного поля):

{\vec{Ф}}_{2} "=" \nabla (\vec{м} \cdot \vec{Б})

$\vec{F}_2=\nabla(\vec{m}\cdot\vec{B})$

Теперь нетрудно видеть, что первая сила имеет структуру $\vec{F}_1=A\vec{e}_x+B\vec{e}_y$ , а вторая сила явно должна иметь вид $\vec{F}_2=C\vec{e}_z\neq 0$ (очевидно, ненулевой из-за неоднородности $\vec{B}$ поле). У меня вопрос - что пошло не так и как это исправить?

Брайан Мотс

Я предполагаю, что выражения для

{\vec{F}}_{1}

$\vec{F}_1$ и

{\vec{F}}_{2}

$\vec{F}_2$ предполагать

\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} =0$ .

Кагарач

Да, это на самом деле предполагается для

{\vec{F}}_{2}

$\vec{F}_2$ . Но в общем случае это верно, так как магнитных монополей не существует. Так что, возможно, решение:

{\vec{F}}_{1}

$\vec{F}_1$ верно только для точного

\vec{B}

$\vec{B}$ поле, пока

{\vec{F}}_{2}

$\vec{F}_2$ также верно для локального приближения, так как оно включает

\nabla \cdot \vec{B}

$\nabla\cdot\vec{B}$ ? Это прозвучало бы правдоподобно.

Ответы (2)

Противодействующие силы на круговой петле под током в магнитном поле?

Я предполагаю, что выражения для $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ предполагать $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} =0$ .
Да, это на самом деле предполагается для $\vec{F}_2$ . Но в общем случае это верно, так как магнитных монополей не существует. Так что, возможно, решение: $\vec{F}_1$ верно только для точного $\vec{B}$ поле, пока $\vec{F}_2$ также верно для локального приближения, так как оно включает $\nabla\cdot\vec{B}$ ? Это прозвучало бы правдоподобно.

Ян Лалински · Answer 1

Формула $F_2$ может быть получено для тел, которые настолько малы, что выше, чем первый порядок изменения в $\mathbf B$ внутри тела оказывает незначительное влияние на силу. Для более крупных тел это неприемлемо, а F1 допустимо.

Итак, F1 более общий, чем F2, но ни один из них ни на что не годится, если мы используем нефизическую функцию магнитного поля, такую как $z\mathbf e_z$ . Тот факт, что они дают разные результаты, означает, что в этой ситуации нарушается некоторое предположение в выводе. Вероятно, нулевая дивергенция $\mathbf B$ необходимо для получения F2.

Брэндон Энрайт · Answer 2

Решение появилось в комментариях, вот доработка. Одно из уравнений Максвелла:

\nabla \cdot \vec{Б} "=" 0

$\nabla\cdot\vec{B}=0$

Местное описание для $\vec{B}$ приведенное выше явно не удовлетворяет этому. Однако определяющее уравнение для силы Лоренца $\vec{F}_1$ предполагает магнитное поле $\vec{B}$ что справедливо не только локально, но и по всему объему пространства. Следовательно, уравнение $\vec{F}_1$ здесь нельзя применять.

С другой стороны, уравнение $\vec{F}_2$ на самом деле первоначально получается с использованием локальной линейной аппроксимации для произвольного «действительного» $\vec{B}$ поле. Уравнение Максвелла $\nabla\cdot\vec{B}=0$ тоже уже входит в выражение $\vec{F}_2$ . Поэтому только в этом случае $\vec{F}_2$ дает правильный результат.

Итак, вы вырезали мое решение из моего вопроса и разместили его как ответ? Думаю, это правильный способ ведения бухгалтерского учета, так что в следующий раз я сделаю это сам. Спасибо за подсказку.
Если вы хотите опубликовать свой ответ в качестве ответа, я удалю этот ответ или отмечу его для удаления. Отвечать на свой вопрос вполне приемлемо, и лучше, чтобы ответ исходил от вас, а не от меня.
> «определяющее уравнение для силы Лоренца предполагает наличие магнитного поля, действующего не только локально, но и во всем объеме пространства». Данное магнитное поле недействительно везде из-за неправильного значения дивергенции. Формула 1 на самом деле ничего не предполагает о функции магнитного поля в ней, за исключением того, что формула интегрируема, поэтому сила может быть связана с $B$ .

Противодействующие силы на круговой петле под током в магнитном поле?

Кагарач

Брайан Мотс

Кагарач

Ответы (2)

Ян Лалински

Брэндон Энрайт

Кагарач

Брэндон Энрайт

Ян Лалински

Изменение полярности магнита для увеличения/уменьшения вихревых токов?

Нахождение силы между параллельными токами по формуле магнитного давления

Почему в F=iLBF=iLBF = iLB LLL — вектор, а iii — нет?

Магнитный дипольный момент тороида

Тесла в Ньютоны на заданном расстоянии

Два провода с током одного направления притягиваются друг к другу. Но два пучка протонов отталкиваются друг от друга. Почему?

Почему линии электропередач не качаются из-за магнитной силы между ними?

Как мы преобразуем максимальное значение силы сцепления (в килограммах или в ньютонах) магнита в напряженность его магнитного поля (в теслах)?

Сила Лоренца на проводе с током

Ориентация спонтанной намагниченности в охлаждающемся ферромагнетике