Путаница с поворотами квантовых состояний: SO(3)SO(3)SO(3) по сравнению с SU(2)SU(2)SU(2)

1. С одной стороны, если$\vec{\alpha}\in \mathbb{R}^3$обозначает трехмерный вектор вращения$^1$, то соответствующая матрица вращения

   $$R(\vec{\alpha})~=~\exp(i\vec{\alpha}\cdot \vec{L})~\in~ SO(3)~ \subseteq ~{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}). \tag{1}$$ Здесь$iL_j\in so(3) \subseteq {\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R})$три$so(3)$Генераторы алгебры Ли, определенные как $$\begin{align} i(L_j)_{k\ell} ~=~& \epsilon_{jk\ell} ,\cr j,k,\ell~\in~& \{1,2,3\}, \cr \epsilon_{123}~=~&1,\tag{1'}\end{align}$$ и выполнение$so(3)$Отношения скобки лжи $$\begin{align} [L_j, L_k] ~=~& i\sum_{\ell=1}^3\epsilon_{jk\ell} L_{\ell}, \cr j,k,\ell~\in~& \{1,2,3\}.\end{align} \tag{1"}$$

2. С другой стороны, соответствующий$SU(2)$матрица$^2$

   $$X(\vec{\alpha})~=~\exp(\frac{i}{2}\vec{\alpha}\cdot \vec{\sigma})~\in~ SU(2)~ \subseteq ~{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}), \tag{2}$$ где$\sigma_{\ell}$– матрицы Паули .

3. Два матричных представления (1) и (2) связаны через

   $$\begin{align} X(\vec{\alpha}) \sigma_k X(\vec{\alpha})^{-1}~=~& \sum_{j=1}^3\sigma_j R(\vec{\alpha})^j{}_k, \cr R(\vec{\alpha})^j{}_k~=~&\frac{1}{2}{\rm Tr}(\sigma^jX(\vec{\alpha}) \sigma_k X(\vec{\alpha})^{-1}), \cr j,k~\in~& \{1,2,3\}. \end{align}\tag{3}$$

4. Соотношение (3) показывает, что присоединенное представление

   $${\rm Ad}:~ SU(2) \quad\to\quad SO(su(2))~\cong~ SO(3),\tag{4}$$ данный $$\begin{align} X\quad \mapsto&\quad{\rm Ad}(X)\sigma~:= ~X\sigma X^{-1}, \cr X~\in~& SU(2),\cr \sigma~\in~& su(2)\cr ~:=~&\{ \sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})\mid \sigma^{\dagger}=\sigma~\wedge~{\rm tr}(\sigma)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\},\cr &||\sigma||^2 ~=~\det(\sigma),\cr &{\rm Ad}(\pm {\bf 1}_{2 \times 2})~=~{\bf 1}_{su(2)}, \end{align}\tag{4'}$$ является сюръективным гомоморфизмом групп Ли 2: 1 между$SU(2)$и$SO(3)$, т.е. $$SU(2)/\mathbb{Z}_2~\cong~SO(3). \tag{4"}$$

5. См. также этот связанный пост Phys.SE, в котором объясняется появление половинного угла в уравнении. (2).

Использованная литература:

1. Г. 'т Хоофт, Введение в группы Ли в физике , конспекты лекций, главы 3 и 6. Файл в формате pdf доступен здесь .

--

$^1$Направление вектора вращения $\vec{\alpha}\in \mathbb{R}^3$параллельна оси вращения, а длина$|\vec{\alpha}|$обозначает угол поворота против часовой стрелки (если смотреть от вершины вектора вращения).

$^2$Обозначения и соглашения в этом ответе Phys.SE соответствуют Ref. 1.

Это очень хороший вопрос. Есть несколько способов ответить на ваш вопрос. Я помню, как понимал всю теорию групп, но чувствовал, что не понимаю физику, когда впервые столкнулся с проблемой, поэтому попытаюсь объяснить все физически.

Во-первых, следует спросить, как узнать, что что-то имеет угловой момент, и измерить его? Я говорю не только о вращении, но и о повседневных предметах. Вы бы соединили его с чем-то другим, что может улавливать угловой момент. Как бейсбольная бита.

В случае электронов это происходит из-за спин-орбитальной связи или испускания фотонов, несущих спин. Однако у нас есть гораздо более доступный пример, потому что электроны несут заряд. Заряд помогает нам, поскольку угловой момент затем проявляется как магнитный момент, который связан с магнитным полем, и мы можем использовать установку Штерна-Герлаха, чтобы влиять на траектории частиц с различным угловым моментом (пока они заряжены при обычном U(1) ЭМ заряд).

Таким образом, в основном гамильтониан имеет связь

$$\Delta H = g ~ \hat n. \vec J$$

где в случае Штерна-Герлаха$\hat n$соответствует направлению магнитного поля. Инвариантность относительно бесконечно малых вращений означает$J$должны удовлетворять алгебре (вы должны попытаться доказать это или задать отдельный вопрос)

$$[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk} J_k$$

где используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Операторы наименьшей размерности, которые ему удовлетворяют, это$2 \times 2$(результат, также известный как наименьший спин,$\frac{1}{2}$) и эти операторы натянуты на базис$\{\frac{1}{2} \sigma_x,\dots \}$.

Здесь обратите внимание на математический факт, который я никогда не пытался доказать: для полуинтегральных операторов углового момента возведение в степень не распространяется на группу вращения.$SO(3)$но вместо этого покрывает$SU(2)$. Они локально изоморфны, и это все, что требуется от связи в гамильтониане. Иными словами, представления$SU(2)$могут соединяться с классическими инструментами, которые измеряют угловой момент (не означает, что они должны, например, SU (2) подмножество цвета SU (3) не имеет).

Итак, делаем вывод, что для спина$\frac{1}{2}$наиболее общий оператор углового момента

$$\mathcal O = \frac{1}{2} \hat n . \vec \sigma$$

где$\hat n$является единичным вектором в некотором направлении.

Теперь мы можем заняться математикой и теорией групп/представлений, чтобы сказать, что это преобразуется в присоединенное представление, или мы можем увидеть физику. Предположим, мы выполняем поворот на угол$\theta$вокруг оси, заданной единичным вектором$\hat m$. Чего мы ожидаем? Мы ожидаем получить новый оператор, соответствующий вращению$\hat n$к$\theta$вокруг$\hat m$. Такой вектор

$$\tilde {\hat n}= (\hat n . \hat m) \hat m + ( \hat n - (\hat n . \hat m) \hat m) \cos \theta + (\hat m \times \hat n) \sin \theta$$

и повернутый оператор

$$\tilde {\mathcal O} = \frac{1}{2} \tilde {\hat n}. \vec \sigma$$

Теперь утверждается, что оператор$\mathcal O$преобразуется в присоединенное представление, а значит, мы должны получить

$$\tilde {\mathcal O}= \frac{1}{2} e^{-i\frac{\theta}{2} \hat m.\vec \sigma} ~\hat n. \vec \sigma ~e^{i\frac{\theta}{2} \hat m.\vec \sigma}$$

Это действительно так, и для полноты я приведу его здесь. Нам понадобится

$$(\vec a. \vec \sigma)(\vec b. \vec \sigma) = (\vec a.\vec b) +i (\vec a \times \vec b).\vec \sigma$$

Мы видим, что

$$\begin{align} & \frac{1}{2} e^{-i\frac{\theta}{2} \hat m.\vec \sigma} ~\hat n. \vec \sigma ~e^{i\frac{\theta}{2} \hat m.\vec \sigma} \\ &=[ \cos(\frac{\theta}{2}) - i (\hat m.\vec \sigma) \sin(\frac{\theta}{2})] [ \hat n.\vec \sigma] [ \cos(\frac{\theta}{2}) + i (\hat m.\vec \sigma) \sin(\frac{\theta}{2})] \\ &=[ \cos(\frac{\theta}{2}) - i (\hat m.\vec \sigma) \sin(\frac{\theta}{2})] [ (\hat n.\vec \sigma) \cos(\frac{\theta}{2}) +i ( \hat n.\hat m + i (\hat n \times \hat m).\vec \sigma) \sin(\frac{\theta}{2})] \\ &=(\hat n. \vec \sigma) \cos^2 ( \frac{\theta}{2}) + 2 ( \hat m \times \hat n) \sin(\frac{\theta}{2}) \cos (\frac{\theta}{2}) +(\hat n.\hat m) \hat m .\vec \sigma \sin^2 (\frac{\theta}{2}) \\ &~~~-( \hat n - (\hat n.\hat m) \hat m).\vec \sigma \sin^2(\frac{\theta}{2}) \\ &=\tilde {\hat n} .\vec \sigma \end{align}$$

Итак, мы видим, что оператор действительно преобразуется в присоединенном представлении.

Теперь ожидаемое значение для состояния$|\psi \rangle$является

$$\langle \psi | \mathcal O | \psi \rangle$$

и поэтому инвариантность относительно вращений означает, что

$$\begin{align} | \tilde \psi \rangle &= e^{-i\frac{\theta}{2} \hat m.\vec \sigma} |\psi \rangle \\ &= [\cos(\frac{\theta}{2}) - i (\hat m.\vec \sigma) \sin (\frac{\theta}{2})]|\psi \rangle \end{align}$$

что показывает, что при вращении на$\pi$мы получаем$| \tilde \psi \rangle = -i (\hat m. \vec \sigma) | \psi \rangle$как спросил ОП.

Обобщение на более высокие спины не является простым, поскольку у нас нет таких свойств, как$J_x^2=1$и нужно использовать формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Тем не менее, как только приведенная выше идея станет ясной, можно использовать результаты теории групп, чтобы увидеть, что, например, для спина 1 мы будем иметь 3$3 \times 3$матрицы

$$\begin{align} J_x &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 &1 &0\\ 1 &0 &1\\ 0 &1 &0 \end{pmatrix} \\ J_y &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 &-i &0\\ i &0 &-i\\ 0 &i &0 \end{pmatrix} \\ J_z &= \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &0 &0\\ 0 &0 &-1 \end{pmatrix} \end{align}$$

и снова самый общий оператор будет

$$\mathcal O_3 = \hat n.\vec J$$

Теперь, поскольку оператор состоит из образующих SO(3), мы знаем, что он будет преобразовываться при присоединенном rep, и хотя для доказательства этого потребуется значительно больше работы, чем выше, смысл такого преобразования состоит в том, что

$$\tilde {\mathcal O_3} = \tilde{\hat n}.\vec J$$

и тогда тот же аргумент, что и выше, даст нам, что состояние преобразуется в фундаментальном представлении как

$$| \tilde {\psi_3} \rangle = e^{-i \theta ~ \hat n. \vec J} |\psi_3 \rangle$$

С другой стороны, частицу со спином 1 можно представить как триплетное состояние двух спинов.$\frac{1}{2}$частиц и работает оттуда.

Как я могу продемонстрировать, что вращение в «нашем мире» порождает вращение квантовых состояний, и как я могу использовать это, чтобы показать формулу вращения квантовых состояний?

Как и во всем в физике, вы делаете постулаты и проверяете их. Однако постулаты, которые вам нужно сделать, очень, очень мягкие и очевидные, и затем они позволяют вам использовать теорему Вигнера , которая является мощным зверем, который действительно прибивает вещи именно к вопросу, который вы задали выше.

Когда мы вращаем наш квантовый объект или нашу систему координат, мы делаем очень очевидный постулат, что какое бы преобразование это действие ни вызывало в пространстве квантовых состояний, это преобразование должно сохранять внутренние продукты в пространстве квантовых состояний, чтобы состояние оставалось неизменным. правильно нормализовано.

Только из этих постулатов, т . е. даже не обязательно предполагать линейность , Вигнер доказал, что когда наш квантовый объект/система координат претерпевает ряд последовательных «симметрий» ( т . е . преобразований Лоренца, которые, конечно, включают в себя вращения), соответствующие преобразования пространства квантовых состояний должны «составляться в соответствии с композицией симметрии» (жаргонная фраза, которую можно услышать в этом контексте). Более точно это выражается в символах. Позволять$\sigma:\mathrm{SO}(1,\,3)\to T$— отображение между «симметриями» (преобразования Лоренца, включая повороты в$\mathrm{SO}(1,\,3$) и набор квантовых преобразований пространства состояний$T$. Тогда у нас есть:

---

Теорема Вигнера

Учитывая вышеприведенные постулаты (более точное утверждение см. в другом месте ), для любых двух$\gamma,\,\zeta\in\mathrm{SO}(1,\,3)$, соответствующие квантовые преобразования пространства состояний$\sigma(\gamma)$и$\sigma(\zeta)$:

1. Действуют линейно или антилинейно в пространстве квантовых состояний (и, очевидно, унитарны/антиунитарны, поскольку должны сохранять внутренние продукты); и
2. $\sigma(\gamma\,\zeta) = \pm \sigma(\gamma)\,\sigma(\zeta)$

---

т.е. отображение$\sigma$является так называемым проективным гомоморфизмом .

The $\pm$знак в приведенном выше уравнении является одновременно несущественным и весомым! Это несущественно в том смысле, что, поскольку квантовые состояния на самом деле являются лучами в пространстве квантовых состояний, знак (как и любая глобальная фаза) не влияет на физическое действие преобразования на пространство состояний. Но то, что там есть этот знак, означает, что:

1. Мы имеем дело не только с представлениями группы$\mathrm{SO}(1,\,3)$(или$\mathrm{SO}(3)$в контексте вашего вопроса) (это знак «+»); НО
2. Мы могли бы иметь дело с представлением топологического накрывающего пространства группы$\mathrm{SO}(1,\,3)$или$\mathrm{SO}(3)$(в этом случае наш$\sigma$можно добавить$-$фаза).

Идея топологического накрывающего пространства здесь ключевая. Для$\mathrm{SO}(1,\,3)$и$\mathrm{SO}(3)$возможны только два покрытия: сами группы и их универсальные покрытия$\mathrm{SL}(2,\,\mathbb{C})$и$\mathrm{SU}(2)$, соответственно. Больше нет, потому что оба$\mathrm{SL}(2,\,\mathbb{C})$и$\mathrm{SU}(2)$односвязны, а односвязное топологическое пространство не допускает нетривиальных накрывающих пространств. Удобочитаемое доказательство этого есть в старой книге В. С. Мэсси «Алгебраическая топология: введение».

Итак, решающее отношение состоит в том, что$\mathrm{SU}(2)$является двойным (и универсальным, поэтому единственным нетривиальным) покрытием$\mathrm{SO}(3)$.

Теперь и ответ квантовой механики, и более физический ответ Боруна Чоудхури дают вам довольно много деталей расчетов в$SU(2)$и$SO(3)$и их представлений, но если вы хотите попытаться визуализировать их отношения, то, возможно, взгляните на вторую половину этого моего ответа, где я пытаюсь проиллюстрировать стандартную конструкцию топологической универсальной покрывающей группы, применяемую к$SO(3)$так что вы можете визуализировать$SU(2)$как сделанный из двух копий$SO(3)$.