Бесконечномерные представления SO(3)SO(3)\text{SO}(3)

В теории углового момента мы хотим изучить проективные представления группы вращений ТАК ( 3 ) , для чего обратимся к теории представлений двойного накрытия СУ ( 2 ) . Я понимаю конечномерную теорию представлений алгебры Ли с ты ( 2 ) где мы находим целые или полуцелые веса в зависимости от размерности представления. Однако мне не удалось найти удовлетворительную трактовку бесконечномерного случая. Позволять ЧАС "=" л 2 ( р 3 ) . Хорошо известно, что собственные значения операторов углового момента в этом гильбертовом пространстве будут целыми кратными ℏ , а не полуцелые числа. Как мы можем увидеть это, используя теорию представлений?

Изменить: я нашел ответ с помощью комментаторов (спасибо!). л 2 ( р 3 ) разлагается как ортогональная прямая сумма векторных пространств В л , каждый из которых инвариантен относительно действия группы вращений и, следовательно, неприводим к этому действию. Кроме того, можно показать, что каждое из этих векторных пространств В л имеет измерение 2 л + 1 , где л является целым числом. Таким образом, каждое из этих пространств нечетно. Следовательно, проективное представление ТАК ( 3 ) на каждого В л будут иметь целые собственные значения. Доказательство см. в Холле - Квантовая теория для математиков.

С О ( 3 ) компактно, поэтому все унитарные представления эквивалентны конечномерным... или вы думаете о каком-то пределе большого представления или неунитарных иррепрезентаций?
@ZeroTheHero Что вы имеете в виду, что все унитарные представления эквивалентны конечномерным? Если гильбертово пространство я хочу представить СУ ( 2 ) бесконечномерно, как я могу реализовать это как конечномерное представление?
Разложите гильбертово пространство в конечномерных иррепрезентациях. См. en.wikipedia.org/wiki/…
@ZeroTheHero это не объясняет, почему мы видим только целые собственные значения. Оказывается, что в бесконечномерном случае мы имеем дело только с обычными представлениями ТАК ( 3 ) а не проективные, но я не понимаю почему.
Я не уверен, что следую. Может быть, вы можете уточнить, что вы подразумеваете под «бесконечномерным случаем»? Собственные значения операторов углового момента (я полагаю, вы исключаете спин) всегда являются целыми числами.
@ZeroTheHero Spin — это всего лишь частный случай теории представления ТАК ( 3 ) где мы находим проективное унитарное представление на конечномерном гильбертовом пространстве. Поскольку он проективен, мы представляем СУ ( 2 ) вместо этого мы находим целые и полуцелые собственные значения. Я ищу теоретическое объяснение того, почему в бесконечномерном случае мы получаем только целые значения. Гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, бесконечномерно, поэтому наше представление ТАК ( 3 ) должен быть бесконечномерным.
Нет. Гильбертово пространство легко приводимо и разлагается в прямую сумму конечномерных (иногда очень больших) представлений. @ValterMoretti только что ответил, пока я писал свой комментарий.
Будет ли математика лучшим домом для этого вопроса?

Ответы (1)

С С О ( 3 ) компактно, в силу теоремы Петера-Вейля всякое унитарное сильно непрерывное представление С О ( 3 ) в гильбертовом пространстве есть прямая сумма (а не прямой интеграл) конечномерных неприводимых представлений, которые, в свою очередь, являются конечномерными представлениями С U ( 2 ) . Итак, когда вы знаете все конечномерные С U ( 2 ) представления вы все знаете.

Ты меня просто опередил..
Извините... бывает :)
Не ахти какое дело. Будь здоров!
@ValterMoretti Я понимаю это, но это все еще не объясняет, почему мы видим только собственные значения целочисленных значений при представлении СУ ( 2 ) на л 2 ( р 3 ) . Тем не менее, я только что нашел объяснение, почему это так, что я опубликую как обновление.
@JacksonBurzynski, пожалуйста, сделайте это!
Я плохо понимаю проблему. Вы спрашиваете, почему Дж к построенные операторы положения и импульса приводят только к целым собственным значениям?
@ValterMoretti Я искал теоретическое объяснение представления. Смотрите мое редактирование для объяснения.
В чем разница между «сильно непрерывным», как вы говорите, и «непрерывным»?
Существуют три релевантные топологии, имеющие дело с операторами в гильбертовых пространствах (на самом деле их семь, но наиболее релевантными являются следующие три тайла) и, в частности, для представления г ∋ г ↦ U г где г является топологической группой и каждый U г — ограниченный оператор в фиксированном гильбертовом пространстве ЧАС . Равномерная непрерывность | | U г − U ф | | → 0 как г → ф , сильная преемственность U г ψ − U ф ψ → 0 как г → ф для каждого ψ е ЧАС ,
и слабая непрерывность ⟨ ψ | U г ф ⟩ → ⟨ ψ | U ф ф ⟩ как ф → г для всех ψ , ф е ЧАС . Если представление состоит из унитарных операторов, сильная и слабая непрерывность эквивалентны. Если ЧАС конечномерна, все понятия эквивалентны.
Непрерывный является общим. Обычно в теории представлений (в том числе и в банаховых пространствах) непрерывный означает сильно непрерывный. Равномерная непрерывность слишком сильна для физических приложений, поскольку подразумевает, что генераторы унитарных представлений для групп Ли ограничены и определены во всем гильбертовом пространстве, и это невероятно сильное требование в приложениях к квантовым теориям, где генераторы обычно неограниченны. сопряженные операторы.
Бесконечномерные представления SO(3)SO(3)\text{SO}(3)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v