Почему коэффициенты Клебша-Гордана всегда можно выбрать действительными?

Кроме того, решающее значение имеет компактность SO(3). Компактность означает, что собственные значения$J_\pm$под$J_z$в присоединенном представлении ($J_z \circ J_\pm = [J_z,J_\pm]=\pm J_\pm$) должны быть действительными (для того, чтобы все однопараметрические подгруппы образовывали замкнутые петли, необходимо, чтобы их действие было унитарным). Поскольку собственные значения операторов повышения и понижения (которые обобщаются до «корневой диаграммы» для произвольных компактных простых групп Ли) используются для проецирования представлений из тензорных произведений точно так же, как SO(3) процедура Клебша-Гордана, элементы обобщенной Матрицы перехода Клебша-Гордана должны быть вещественными для произвольных компактных групп при соответствующем начальном выборе фазы.

С некомпактными группами Ли дело обстоит сложнее. Допускаются неунитарные групповые действия, например, в действии группы Лоренца на нормальные 4 вектора, и представления не ограничены требованием глобальной согласованности (точнее, требованием глобальной согласованности меньше строгий).

Я прочитал различные источники и свои собственные заметки, основанные на «Квантовой механике» Робинетт, стр. 493, и кажется, что тот факт, что они принимаются за реальные, либо предполагается, либо объясняется, как описано ниже.

Коэффициенты трансформации$\langle j_1 ,m_1 ; j_2 ,m_2 |j,m; j_1 , j_2\rangle$известны как коэффициенты Клебша-Гордона (КГ) (или векторные коэффициенты связи).

Матрица Клебша-Гордана унитарна (поскольку она просто переводит вектор из одного базиса в другой) и по соглашению ее элементы выбираются вещественными, поскольку фаза этого кет$|j,m; j_1, j_2 \rangle$является произвольным.

Это следует из того, что матричные элементы лестничных операторов$L_\pm$выбраны реальными. Можно выбрать CG вещественными, если выполняется это наблюдение о матричных элементах лестничных операторов.

Реальные КГ возможны даже для некомпактных алгебр: элементарным примером является$su(1,1)$. Разложение тензорного произведения двух невозвратов в положительном дискретном ряду дает бесконечную сумму невозвратов в положительном дискретном ряду, для которого базисные состояния могут быть выражены как состояния произведения с использованием реальных состояний Клебша. Опять же это возможно, потому что матричные элементы лестничных операторов$su(1,1)$можно выбрать реальным.

Грубо говоря, "глубинная" причина такова. Поскольку самый высокий (или самый низкий) вес иррепа должен быть уничтожен операторами повышения (или понижения), это самое высокое состояние будет реальной линейной комбинацией состояний всякий раз, когда операторы повышения имеют реальные матричные элементы. Как только самые высокие состояния построены, другие состояния в иррепе достигаются путем применения понижающих операторов, которые будут генерировать реальную комбинацию состояний состояний, если их матричные элементы реальны.

Обратите внимание, что фаза операторов повышения и понижения$su(2)$или$su(1,1)$не обязательно должны быть реальными в принципе, но выбираются реальными из-за последующих упрощений.