Построить SO(3)SO(3)SO(3) вращение внутри двух SU(2)SU(2)SU(2) фундаментальных вращений

Question

Построить SO(3)SO(3)SO(3) вращение внутри двух SU(2)SU(2)SU(2) фундаментальных вращений

Энн Мари Кер

Мы знаем, что два $SU(2)$ основы имеют разложение умножения, так что

\begin{matrix} (1) & 2 \otimes 2 "=" 1 \oplus 3. \end{matrix}

$2 \otimes 2= 1 \oplus 3.\tag{1}$ В частности, 3 имеет векторное представление

S O (3)

$SO(3)$ . В то время как 1 является тривиальным представлением

S U (2)

$SU(2)$ .

надеюсь увидеть точную $SO(3)$ ротация из двух $SU(2)$ фундаментальные вращения.

Итак, давайте сначала напишем два $SU(2)$ фундаментальные объекты с точки зрения $SO(3)$ объект. В частности, мы можем рассмотреть следующие три:

| 1, 1 ⟩ "=" (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) "=" | ↑↑ ⟩,

$|1,1\rangle= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= | \uparrow \uparrow \rangle,$

| 1, 0 ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})) "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩),

$|1,0\rangle ={1 \over \sqrt{2} } (\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix})={1 \over \sqrt{2} }(| \uparrow \downarrow \rangle+ | \downarrow \uparrow \rangle) ,$

| 1, - 1 ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) "=" | ↓↓ ⟩ .

$|1,-1\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}= | \downarrow \downarrow \rangle.$

где $| \uparrow \rangle$ и $\downarrow \rangle$ находятся в $SU(2)$ основы. И мы выстрелили $| \uparrow \uparrow \rangle \equiv | \uparrow \rangle |\uparrow \rangle$ и так далее.

Вопрос: Как мы переключаемся между $|1,1\rangle$ , $|1,0\rangle$ , $|1,-1\rangle$ , через два $SU(2)$ вращения, действующие на два $SU(2)$ основы? А именно, то есть построить $SO(3)$ вращение внутри двух $SU(2)$ фундаментальные вращения? $SU(2)$ имеет три генератора, параметризованных $m_x,m_y,m_z$ ; как мы запишем общий $SO(3)$ вращения из двух $SU(2)$ вращения?

Рассмотрим пример, $SU(2)$ вращение $U$ действующий на $SU(2)$ фундаментальный $\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ дать начало

U (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} потому что (\frac{θ}{2}) + я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) & (я м_{Икс} - м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) \\ (я м_{Икс} + м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) & потому что (\frac{θ}{2}) - я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} потому что (\frac{θ}{2}) + я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) \\ (я м_{Икс} + м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) \end{matrix}) \equiv потому что (\frac{θ}{2}) + я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + (я м_{Икс} + м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2}) & (i m_x -m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) & \cos(\frac{\theta}{2})-{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2}) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix} \equiv\cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2}) \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

Другими словами, $SU(2)$ вращение $U$ (с $|\vec{m}|^2=1$ ) вращается $SU(2)$ основы. Два $SU(2)$ вращения действуют как

U U | 1, 1 ⟩ "=" U (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) U (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} потому что (\frac{θ}{2}) + я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) \\ (я м_{Икс} + м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) \end{matrix}) (\begin{matrix} потому что (\frac{θ}{2}) + я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) \\ (я м_{Икс} + м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) \end{matrix})

$UU|1,1\rangle = U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix}$

Подсказка: наивно, мы любим конструировать
$л_{\pm} "=" л_{Икс} \pm я л_{у},$ $L_{\pm} =L_{x} \pm i L_y,$ такой, что $L_{\pm}$ является оператором из двух $SU(2)$ вращения, действующие на два $SU(2)$ основы, так что он поднимается/опускается между $|1,1\rangle$ , $|1,0\rangle$ , $|1,-1\rangle$ .

вопрос 2: Возможно ли, что два $SU(2)$ невозможно выполнить такие $SO(3)$ вращения, но нам нужно два $U(2)$ вращения?

Ответы (2)

Построить SO(3)SO(3)SO(3) вращение внутри двух SU(2)SU(2)SU(2) фундаментальных вращений

Давид Бар Моше · Answer 1

Следующее решение исходит из теории геометрического квантования. Я не буду объяснять полную теорию, стоящую за этим, но я приведу здесь решение, а затем кратко расскажу, как проверить, является ли это требуемым решением.

Генерал $SU(2)$ элемент группы в фундаментальном представлении можно записать как:

г "=" [\begin{matrix} α & β \\ - \bar{β} & \bar{α} \end{matrix}]

$g = \begin{bmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar{\beta}& \bar{\alpha} \end{bmatrix}$ с

| α |^{2} + β |^{2} "=" 1

$|\alpha|^2+\beta|^2=1$ Трехмерное гильбертово пространство трехмерного представления можно параметризовать следующим образом:

ψ (г) "=" а + б г + с г^{2} (1)

$\psi (z) = a + b z + cz^2 \quad (1)$

где $x$ является неопределенным

Действие $SU(2)$ в этом векторном пространстве определяется как:

(г \cdot ψ) (г) "=" (- \bar{β} г + \bar{α})^{2} ψ (\frac{α г + β}{- \bar{β} г + \bar{α}}) (2)

$(g\cdot \psi)(z) = (-\bar{\beta} z + \bar{\alpha})^2 \psi( \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z + \bar{\alpha}}) \quad (2)$

Чтобы убедиться, что это представление, можно проверить, что композиция действия двух групповых элементов совпадает с действием их произведения.
Чтобы увидеть, что это верный $SO(3)$ представительство, но не верный $SU(2)$ , легко видеть, что для нетривиального элемента центра: $г_{с} "=" [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$ $g_c = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ У нас есть для каждого $\psi$ $(г_{с} \cdot ψ) (г) "=" ψ (г)$ $(g_c\cdot \psi)(z) = \psi(z)$
Хотя, "сферические" компоненты $a, b, c$ являются сложными. Чтобы убедиться, что представление реально, можно увидеть, что «декартовы» компоненты $(a+c), b, i^{-1}(a-c)$ преобразовывать с помощью только действительных комбинаций $\alpha$ и $\beta$ .

@ Давид Бар Моше, спасибо за ответ, +1. Ваш ответ находится на более продвинутом уровне. :)
Тогда я думаю, может быть, вы также можете решить это или, по крайней мере, поделиться своим мнением: math.stackexchange.com/q/2745276 - спасибо.
@ Дэвид, это легко увидеть из $U U | 1, 1 ⟩ "=" U (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) U (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} потому что (\frac{θ}{2}) + я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) \\ (я м_{Икс} + м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) \end{matrix}) (\begin{matrix} потому что (\frac{θ}{2}) + я м_{г} грех (\frac{θ}{2}) \\ (я м_{Икс} + м_{у}) грех (\frac{θ}{2}) \end{matrix})$ $UU|1,1\rangle = U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}U \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\frac{\theta}{2})+{i m_z} \sin(\frac{\theta}{2})\\ (i m_x +m_y) \sin(\frac{\theta}{2}) \end{pmatrix}$ когда $m_y=\pm 1, m_x=m_z=1$ и $\theta=\pi$ , у нас есть $U U | 1, 1 ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) "=" | 1, - 1 ⟩$ $UU|1,1\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=|1,-1\rangle$
У вас есть точный ответ, как найти $U$ , такой, что $U U | 1, 1 ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) "=" | 1, 0 ⟩ ?$ $UU|1,1\rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=|1,0\rangle ?$
@annie сердце такого нет $U$ . Пожалуйста, обратите внимание, что если вы действуете по какому-либо $U \otimes U$ на вектор старшего веса: $\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ , то результатом всегда будет сепарабельный вектор вида $\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ . Но вектор, которого вы хотите достичь, запутан, и нет никакого способа изменить состояние запутанности с помощью локального преобразования.
Действительно, структура запутанности другая, тогда как насчет построения поворотов из двух поворотов U(2) вместо двух SU(2)?
Нет, $U(2)$ также не изменит структуру запутанности, An $SU(3)$ потребуется элемент, действующий на трехмерное векторное пространство.

Qмеханик · Answer 2

Возможно, будет полезно следующее:

Экв. ОП. (1) следует понимать как отношение между комплексными представлениями $SU(2)$ , т.е. комплексные векторные пространства. Напоминая, что основополагающим $SU(2)$ представление ${\bf 2}\cong \overline{\bf 2}$ изоморфно комплексно-сопряженному представлению, вместо этого рассмотрим изоморфизм
$\begin{matrix} (А) & 2 \otimes \bar{2} ≅ 1 \oplus 3 . \end{matrix}$ ${\bf 2}\otimes \overline{\bf 2}~\cong~{\bf 1}\oplus {\bf 3}. \tag{A}$
Левая часть уравнения. (A) может быть реализовано как вещественное векторное пространство $u(2)$ из $2\times 2$ Эрмитовы матрицы. Группа $SU(2)$ действует на $u(2)$ через сопряжение. Учитывая спинор $| \psi\rangle\in {\bf 2}$ , затем
$\begin{matrix} (Б) & 1 \oplus с ты (2) ≅ ты (2) ∋ | ψ ⟩ ⟨ ψ | "=" \frac{1}{2} \sum_{мю "=" 0}^{3} {Икс}^{мю} о_{мю}, ({Икс}^{0}, {Икс}^{1}, {Икс}^{2}, {Икс}^{3}) е р^{4} . \end{matrix}$ ${\bf 1}\oplus su(2)~\cong~ u(2)~\ni~| \psi\rangle \langle\psi | ~=~\frac{1}{2}\sum_{\mu=0}^3x^{\mu} \sigma_{\mu}, \qquad (x^0,x^1,x^2,x^3) ~\in~\mathbb{R}^4. \tag{B}$ Тройка ${\bf 3}$ соответствует бесследовой части, то есть: $su(2)$ . Следовательно, спинор $| \psi\rangle$ представляет 3-вектор $\vec{r}=(x^1,x^2,x^3)$ . См. также этот пост на Phys.SE.

Спасибо! +1, тот же вопрос, что и к Дэвиду, есть ли у вас точное вращение от того, как найти U, такое, что UU|1,1⟩=(1/√2) (10)(01)+(1/√2) √(10)(01)=|1,0⟩ некоторым U?

Построить SO(3)SO(3)SO(3) вращение внутри двух SU(2)SU(2)SU(2) фундаментальных вращений

Энн Мари Кер

Ответы (2)

Давид Бар Моше

Энн Мари Кер

Энн Мари Кер

Энн Мари Кер

Энн Мари Кер

Давид Бар Моше

Энн Мари Кер

Давид Бар Моше

Qмеханик

Энн Мари Кер

Что сложение углового момента говорит нам о теории групп?

Бесконечномерные представления SO(3)SO(3)\text{SO}(3)

Единая последовательность лестницы углового момента в квантовой механике? -- Почему есть только

Путаница с поворотами квантовых состояний: SO(3)SO(3)SO(3) по сравнению с SU(2)SU(2)SU(2)

Преобразование бесследного симметричного тензора под действием группы Ли

Кратность собственных значений углового момента

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Как получить матрицы Гелл-Манна?

У кого-нибудь есть пример двухкубитных квантовых ворот не Паули и не Клиффорда?

Можем ли мы записать массу МММ, инвариант Казимира группы Галилея, как функцию ее образующих?