Расчет уравнения движения по действию

Предположим, что мой интеграл действия равен

С "=" ∫ г 4 Икс ( ∇ × А ) 2
и дельта С дает
дельта С "=" ∫ г 4 Икс [ 2 ( ∇ × А ) . ( ∇ × дельта А ) ]
Я хочу рассчитать коэффициент дельта А из этого интеграла действия. Но я застрял. Как я могу отделить дельта А от такого термина?

Может быть полезно использовать обозначение индекса ( ∇ × А ) я "=" ϵ я Дж к ∂ Дж А к и интегрирование по частям.

Ответы (1)

Давайте сделаем то, что говорит Гейдар, и запишем это индексами, и отождествим лагранжиан.

л "=" 1 2 ( ∇ → × А → ) 2 "=" 1 2 ϵ я Дж к ∂ Дж А к ϵ я л м ∂ л А м
где, если вы еще не слышали об этом, вы притворяетесь, что для каждого повторяющегося индекса есть символ суммирования. Тогда, поскольку нет голых А я Сидят одни, только ∂ я А Дж s единственная часть уравнений Лагранжа, которая будет вносить вклад, это
∂ д ∂ л ∂ ( ∂ д А п )
которую мы приравняем к нулю, следуя уравнениям. Затем
∂ л ∂ ( ∂ д А п ) "=" 1 2 ( ϵ я Дж к дельта Дж д дельта к п ϵ я л м ∂ л А м + ϵ я Дж к ∂ Дж А к ϵ я л м дельта л д дельта м п )
с использованием
∂ ( ∂ я А Дж ) ∂ ( ∂ д А п ) "=" дельта я д дельта Дж п .
Тогда у нас есть
∂ д ∂ л ∂ ( ∂ д А п ) "=" ∂ д ( ϵ я д п ϵ я Дж к ∂ я А Дж ) "=" ∂ д ( ( дельта д Дж дельта п к − дельта д к дельта п Дж ) ∂ я А Дж ) "=" ∂ д ( ∂ д А п − ∂ п А д ) "=" 0
где я использовал сокращенную идентичность эпсилон и изменил повторяющиеся индексы по мере необходимости, чтобы объединить термины. Надеюсь это поможет.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Что ж, я все равно постараюсь помочь, надеюсь, хуже не сделаю.

дельта С "=" ∫ г 3 Икс 1 2 ϵ я Дж к ϵ я л м дельта ( ∂ Дж А к ) ∂ л А м + ∫ г 3 Икс 1 2 ϵ я Дж к ϵ я л м ∂ Дж А к дельта ( ∂ л А м )
Теперь с вариациями дельта мы можем поменять порядок ∂ и дельта
дельта ( ∂ я А Дж ) "=" ∂ я ( дельта А к )
Таким образом, с двумя членами, умноженными выше, мы получаем
∂ Дж ( дельта А к ) ∂ л А м "=" ∂ Дж ( дельта А к ∂ л А м ) − дельта А к ∂ Дж ∂ л А м
из правила продукта. Это помогает изолировать изменение поля. Пожалуйста (все), дайте мне знать, если это все еще сбивает с толку и / или неправильно. Надеюсь это поможет.

Извините, ваш "=" 0 в самом конце чрезвычайно сбивает с толку, потому что кажется, что вы утверждаете, что предыдущее выражение равно нулю. Это точно не так. Очевидно, что в общем случае вклад пропорционален ∇ × Б . Было бы очень плохо, если бы (пространственный) член Максвелла давал ноль уравнениям Максвелла. ;-) Вы не должны писать это ноль, потому что в уравнениях есть другие члены из других членов в действии, такие как Дж ⋅ А и ( ∂ т А ) 2 .
хм... но, учитывая лагранжиан из ОП, разве уравнения Лагранжа не то, что я записал в последней строке? Конечно, вы правы, если лагранжиан сложнее.
На самом деле я должен согласиться с Любошем Мотлем, потому что в основном лагранжиане есть другие члены. Я уже пробовал процедуру, которую вы описали. Это вызывает некоторые проблемы. Поэтому один из моих советников попросил меня попробовать интеграл по путям, разделить коэффициенты членов, и это может привести к уравнению движения, которое мы хотим.
Ну, плохо, тогда я думал, что вы хотели, чтобы EOM предполагал, что это был весь интеграл действия. извини.
Расчет уравнения движения по действию
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v