Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Question

Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Сёрен

У меня есть сомнения по поводу следующей ситуации. Рассмотрим полый проводник $A$ (произвольной формы), содержащий другой проводник $B$ (опять же произвольной формы), с положительным зарядом $+q$ .

По электростатической индукции полный заряд $-q$ появится на внутренней поверхности $A$ (назовем это $S_{A, int}$ ) с плотностью $\sigma_{A,int}$ , а общий заряд $+q$ появится на внешней поверхности $S_{A,ext}$ с плотностью $\sigma_{A,ext}$ .

Назовем электростатические поля, создаваемые плотностью заряда $\sigma_{B}$ , $\sigma_{A,int}$ и $\sigma_{A,ext}$ соответственно $\bf{E}_{B}$ , $\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ и $\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}$ .

Мой вопрос: как доказать (возможно, строгим образом) два следующих факта?

$\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ таков, что
$Е_{Б} + Е_{о_{А, я н т}} "=" 0$ $\bf{E}_{B}+\bf{E}_{\sigma_{A,int}}=0$ везде вне полости (следовательно, и вне проводника $A$ ).
Оба $\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ и $\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}$ равны нулю всюду внутри полости.

Попытки:

Гриффитс - Введение в электродинамику предлагает аналогичную ситуацию в главе 2.5 (пример 2.9) и утверждает, что $\sigma_{A,int}$ таков, что «его поле отменяет поле $B$ , для всех точек вне полости».

Он объясняет утверждение словами: «В данный момент я не могу дать вам удовлетворительного объяснения», тем не менее я не нашел надлежащего объяснения этому факту во всей книге.

Во всяком случае, он пытается оправдать этот факт, говоря: «Потому что та же самая полость могла быть изогнута из огромного сферического проводника с радиусом 27 световых лет или около того. В этом случае плотность $\sigma_{A,ext}$ просто слишком далеко, чтобы создать значимое поле, а два других поля ( $\bf{E}_{B}$ и $\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ ) должны были бы выполнить отмену самостоятельно».

Это имеет смысл для меня, но я ищу более строгое объяснение (или, по крайней мере, где я могу его найти).
Я бы предположил, что для консервативности электростатических полей:
$\begin{matrix} (*) & \oint_{γ} Е_{о_{А, я н т}} \cdot г с "=" \int_{γ_{1}} Е_{о_{А, я н т}} \cdot г с + \int_{γ_{2}} Е_{о_{А, я н т}} \cdot г с "=" 0 \forall γ_{1}, γ_{2} \end{matrix}$ $\oint_{\gamma} \bf{E}_{\sigma_{A,int}} \cdot \bf{ds}=\int_{\gamma_1}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}+\int_{\gamma_2}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0\,\,\,\, \forall \gamma_1,\gamma_2\tag{*}$

Где $\gamma_1$ любая кривая, подобная красной на картинке (соединяющая любые две точки полости $C$ и $D$ проходящий через полость) и $\gamma_2$ любая кривая, подобная зеленой на картинке (следовательно, проходящая внутри проводника) . С $\gamma_2$ проходит в проводнике, обязательно
$\int_{γ_{2}} Е_{о_{А, я н т}} \cdot г с "=" 0 \forall γ_{2}$ $\int_{\gamma_2}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0\,\,\,\,\,\forall \gamma_2$

Следовательно, из $(*)$

\int_{γ_{1}} Е_{о_{А, я н т}} \cdot г с "=" 0 \forall γ_{1}

$\int_{\gamma_1}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0 \,\,\,\,\forall \gamma_1$

Тем не менее я не совсем уверен в следующем выводе

\int_{γ_{1}} Е_{о_{А, я н т}} \cdot г с "=" 0 \forall γ_{1} ⟹ Е_{о_{А, я н т}} "=" 0 я н с я г е т час е с а в я т у

$\int_{\gamma_1}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0 \,\,\,\,\forall \gamma_1\implies \bf{E}_{\sigma_{A,int}}=0 \,\,\,\,\, \mathrm{inside} \,\,\, \mathrm{the} \,\,\, \mathrm{cavity}$

Могу ли я прийти к такому выводу с помощью этого рассуждения? (То же рассуждение привело бы к выводу, что также $\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}=0$ внутри полости).

Дж.М.Л.Картер

Почему это не стандартная задача клетки Фаради, которую все хорошо знают? (Вы правильно применили цитату к нужному вопросу? Или доказательство интеграла по круговому пути было слишком хорошо спрятано в книге)

Аритро Патхак

arxiv.org/abs/1609.04248, это статья, опубликованная в European Journal of Physics, где я пытался объяснить два разных доказательства этого.

Ответы (5)

Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Почему это не стандартная задача клетки Фаради, которую все хорошо знают? (Вы правильно применили цитату к нужному вопросу? Или доказательство интеграла по круговому пути было слишком хорошо спрятано в книге)
arxiv.org/abs/1609.04248, это статья, опубликованная в European Journal of Physics, где я пытался объяснить два разных доказательства этого.

forky40 · Answer 1

Перефразируя «Вторую теорему уникальности» Гриффита (раздел 3.1.6, 4-е изд.):

Электрическое поле в объеме, ограниченном проводниками, определяется однозначно, если задан суммарный заряд на каждом проводнике.

(1) Поскольку заряд размещен только на B, это говорит о том, что поле в полости однозначно определяется формой полости и $Q$ . Другими словами, внешняя поверхность не может вносить вклад в полость: $\vec{E}_{A,ext}=0$ . Однако по тем же соображениям я считаю неверным говорить $\vec{E}_{A,int}=0$ в полости, потому что внутренняя поверхность (и, следовательно, $\sigma_{A,int}$ ) должны способствовать однозначному решению поля.

(2) Внешняя поверхность будет иметь $Q$ распределяется по ней независимо от формы полости. Таким образом, даже если внешний проводник технически не имеет заряда, просто представьте, что объем вне A ограничен внешним видом A (с $Q$ на нем) и бесконечность. Затем примените ту же теорему единственности, чтобы показать нерелевантность полости (другими словами, $\vec{E}_{A,int}+\vec{E}_B=0$ снаружи).

Отвечая на ваши попытки:

(1) Строгое объяснение лежит в теоремах единственности, представленных в главе 3, и связанных с ними доказательствах.

(2) Последний шаг неверен: из исчезающего интеграла вообще не следует исчезающая подынтегральная функция. Кроме того, это не тот вывод, к которому вы хотите прийти. В остальном это хорошее рассуждение, и очень в духе $\Phi$ как консервативное поле (заменяющее $\vec{E}$ с $-\nabla \Phi$ позволяет очень легко вычислить интегралы , перемещаясь между поверхностями одного проводника).

пользователь130529 · Answer 2

Позволять $V$ — полный потенциал, который равен нулю в $\infty$ . Мы знаем, что V постоянно в обоих проводниках. Позволять $V_B$ — его значение внутри B и $V_A$ его значение внутри A. Это все, что нам нужно для реконструкции потенциала и подробного ответа на вопрос.

Позволять $V_1$ быть потенциалом таким, что

\begin{aligned} В_{1} "=" В_{Б} - В_{А} внутри Б, \\ В_{1} "=" 0 внутри А и снаружи снаружи А, \\ \nabla^{2} В_{1} "=" 0 в свободном пространстве между А и В. \end{aligned}

$\begin{align} &V_1 = V_B-V_A \quad \text{inside B,}\\ &V_1 = 0 \quad \text{inside A and on the exterior outside of A,}\\ &\nabla^2 V_1 = 0 \quad \text{in the free space between A and B.} \end{align}$ Позволять

V_{2}

$V_2$ быть потенциалом таким, что

\begin{aligned} В_{2} "=" В_{А} внутри В и внутри А, а также в свободном пространстве между А и В, \\ \nabla^{2} В_{2} "=" 0 на внешней стороне A, \\ В_{2} "=" 0 в \infty . \end{aligned}

$\begin{align} &V_2 = V_A \quad \text{inside B and inside A as well as in the free space between A and B,}\\ &\nabla^2 V_2 = 0 \quad \text{on the exterior outside of A,}\\ &V_2 = 0 \quad \text{at} \quad \infty . \end{align}$

По построению имеем

В "=" В_{1} + В_{2} .

$V = V_1+V_2.$

Позволять $\bf{E}$ — полное электростатическое поле, определенное в вопросе:

Е "=" Е_{Б} + Е_{о_{А, я н т}} + Е_{о_{А, е Икс т}} .

${\bf{E} = \bf{E}_{B} + \bf{E}_{\sigma_{A,int}} + \bf{E}_{\sigma_{A,ext}}}.$ У нас есть

Е "=" - \nabla В .

${\bf{E}} = -\nabla V.$

Теперь нам нужно определить каждый компонент.

По конструкции расходы, связанные с $V_1$ расположены на поверхности B и внутренней поверхности A, а заряды, связанные с $V_2$ расположены на внешней поверхности A. Следовательно,

\begin{aligned} Е_{Б} + Е_{о_{А, я н т}} "=" - \nabla В_{1}, \\ Е_{о_{А, е Икс т}} "=" - \nabla В_{2} . \end{aligned}

$\begin{align} &{\bf{E}_{B} + \bf{E}_{\sigma_{A,int}}} = -\nabla V_1,\\ &{\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}} = -\nabla V_2. \end{align}$

По определению $V_1$ , первое уравнение доказывает пункт 1 вопроса:

Е_{Б} + Е_{о_{А, я н т}} "=" - \nabla 0 "=" 0 внутри А и снаружи снаружи А.

${\bf{E}_{B} + \bf{E}_{\sigma_{A,int}}} = -\nabla 0 = 0\quad \text{inside A and on the exterior outside of A.}$

По определению $V_2$ , второе уравнение доказывает половину пункта 2 вопроса:

Е_{о_{А, е Икс т}} "=" - \nabla В_{А} "=" 0 внутри B и A, а также в свободном пространстве между A и B .

${\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}} = -\nabla V_A = 0 \quad \text{inside B and A as well as in the free space between A and B}.$

Наконец, относительно ${\bf{E}_{\sigma_{A,int}}}$ , он не будет равен нулю везде внутри полости, за исключением особого случая, когда связанные заряды создают постоянный потенциал внутри этой полости (например, в случае сферической симметрии).

Дж.М.Л.Картер · Answer 3

Почему это не стандартная задача клетки Фаради, которую все хорошо знают?

(Вы правильно применили цитату к нужному вопросу? Или доказательство интеграла по круговому пути было слишком хорошо спрятано в книге)

Для рассуждения рассмотрим симметричное идеально круглое кольцо заряда. Ваш проводник позволяет зарядам двигаться, поэтому они будут равномерно распределяться в вашем проводнике неправильной формы, в соответствии с этим расположением.

Для каждой точки внутри проводника сила от ближайших точек кольца будет точно компенсирована силой от более удаленных (хотя сила слабее, их больше), не оказывая результирующей силы на заряд при эта точка. (Проведено математическое интегральное доказательство, но это не то, о чем вы просили).

лесник · Answer 4

Итак, у нас есть проводник А, проводник Б, проводник В заряжен, а теперь побродим, как распределяются заряды в нашей системе.

Попробуем угадать. Возьмем проводник типа А, но без полости. Давайте зарядим его полным зарядом $q$ . Этот заряд будет распределяться по поверхности проводника. Распределение было бы таким, что полное электрическое поле где-либо внутри проводника равно нулю: электрического тока больше нет. Вспомним, как распределяется заряд: $\sigma_{A, ext}$ .

Теперь возьмем бесконечный проводник с полостью и еще один заряженный проводник B внутри полости. Заряды распределились бы по внутренней поверхности полости таким образом, что электрическое поле вне полости равно нулю. Вспомним, как теперь распределяются заряды: $\sigma_{A, int}$ и $\sigma_{B}$ .

Теперь вернитесь к исходной задаче. Давайте вручную распределим расходы точно так же, как они были распределены: $\sigma_{A, int}, \sigma_{A, ext}, \sigma{B}$ . А теперь отпустите их! Что случилось бы?

На самом деле ничего. Заряды, распределенные по В и внутренней поверхности, находились в равновесии, мы вносим некоторые заряды, распределенные по внешней поверхности, но эти внешние заряды распределены так, что не создают электрического поля в области внутренней поверхности. И внутренние заряды не влияют на заряды на внешней поверхности. У нас все еще есть равновесие.

Итак, у нас есть решение нашей проблемы! Теперь мы знаем, что существует решение, при котором «внутренние» заряды не создают электрического поля нигде за пределами резонатора. (п.1. вашего вопроса). Это равновесное распределение таково, что $\sigma_{A, ext}$ не создают поля внутри резонатора. Обратите внимание, что $\sigma_{A, int}$ создает некоторое электрическое поле внутри резонатора, поэтому ваш вопрос неверен.

Может быть, фактическое распределение будет отличаться от того, что мы построили? Нет, других решений нет.

Предположим, есть какой-то другой дистрибутив. Поменяем знаки у всех зарядов и объединим обе картинки. Получилось бы новое распределение, все еще равновесное, суммарные заряды всех проводников были бы нулевыми, но распределения все равно нет: были бы какие-то положительно и отрицательно заряженные области. Это означает, что в нашей системе есть некоторое электрическое поле. Электрическое поле обладает потенциальной энергией. Положение не может быть в равновесии, потому что заряды могут перераспределиться, устранить все электрическое поле и потенциальная энергия уменьшится.

Доказательство не очень строгое, я знаю :)

Аритро Патхак · Answer 5

Это достойный вопрос, и ответ на него не является тривиальным или совершенно немедленным.

Непонятно, почему обычно не предпринимается усилий, чтобы ответить на этот вопрос должным образом: я привел два полных аргумента в пользу того, почему комбинированное поле, вызванное «постоянными» и индуцированными зарядами в какой-либо одной «области» пространства, не проникает в другую область, где любые два домена полностью отделены друг от друга проводящим материалом (и, таким образом, существует ровно один домен, простирающийся до бесконечности, а все остальные домены имеют конечный объем). Это несложный аргумент, начиная с любой из двух стандартных электростатических теорем существования и единственности.

Самый важный вопрос, по которому нужно прийти к единому мнению, это то, нужны ли вообще логически завершенные аргументы!

https://arxiv.org/abs/1609.04248

Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Сёрен

Дж.М.Л.Картер

Аритро Патхак

Ответы (5)

forky40

пользователь130529

Дж.М.Л.Картер

лесник

Аритро Патхак

Путаница с законом Ампера [закрыто]

Потери энергии при разделении заряда между двумя конденсаторами

Электрическое поле проводящей сферы, содержащей заряд - заземленной и незаземленной

Теорема, для которой поляризация в диэлектрическом эллипсоиде внутри однородного электрического поля постоянна

Как точечный заряд взаимодействует с гауссовой поверхностью?

Найдите электрическое поле равномерно поляризованного шара.

Непонимание правила правого винта для магнитных полей

Как применить закон Гаусса к коаксиальным проводящим цилиндрам?

Если мы удалим все электроны из проводника, как положительный заряд сможет перестроиться?

Как рассчитать скорость распространения волны в медном проводе?