Производная инварианта электромагнитного тензора FμνFμνFμνFμνF _{\mu\nu}F^{\mu\nu}

Тензор электромагнитного поля равен Ф мю ν "=" ∂ мю А ν − ∂ ν А мю . Я пытаюсь рассчитать количество

∂ ( Ф α β Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) .
Этот расчет возникает при попытке вывести электромагнитные уравнения движения (т.е. уравнения Максвелла) из лагранжиана л "=" С Ф мю ν Ф мю ν . Согласно стр. 14 этих онлайн-заметок , эта производная
∂ ( Ф α β Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" 2 Ф α β ∂ Ф α β ∂ ( ∂ мю А ν ) .

Этот результат меня удивляет. Я могу использовать правило произведения, чтобы найти

∂ ( Ф α β Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" Ф α β ∂ ( Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) + Ф α β ∂ ( Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν )

и понятно, что если Ф α β ∂ ( Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" Ф α β ∂ ( Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) тогда вы получите желаемый результат. Однако я не понимаю, почему это правда. В частности, я не понимаю, как взять производную

∂ ( Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" ∂ ( ∂ α А β − ∂ β А α ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" ∂ ( ∂ α А β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) − ∂ ( ∂ β А α ) ∂ ( ∂ мю А ν )
где нижняя часть имеет нижние индексы, а верхняя часть имеет верхние индексы.

Разве вы не можете просто использовать метрику, чтобы понизить индексы в числителе?

Ответы (2)

На ваш первый вопрос: компоненты метрики не зависят от ∂ мю А ν , или, если на то пошло, что угодно вообще. Итак, у нас есть, например

Дж мю ∂ К мю "=" Дж мю ∂ ( η мю ν К ν ) "=" Дж мю η мю ν ∂ К ν "=" Дж ν ∂ К ν "=" Дж мю ∂ К мю
где ∂ обозначает любой вид производного и Дж и К являются произвольными. Доказательство для вашего случая идентично.

Что касается вашего второго вопроса: просто сделайте то же самое. Обратите внимание, что

∂ Дж ν ∂ Дж мю "=" ∂ ( η р ν Дж р ) ∂ Дж мю "=" η р ν ∂ Дж р ∂ Дж мю "=" η р ν дельта р мю "=" η мю ν
где вы можете адаптировать это рассуждение к вашему собственному примеру. После того, как вы сделаете это пару раз, это станет вашей второй натурой, и вам не придется записывать шаги. Все работает именно так, как вы ожидаете, просто «выстраивая индексы»,
∂ Дж ν ∂ Дж мю "=" η мю ν , ∂ Дж ν ∂ Дж мю "=" η мю ν , ∂ Дж ν ∂ Дж мю "=" η ν мю , ∂ Дж ν ∂ Дж мю "=" η мю ν
где, чтобы записать все четыре результата одинаково, я определил η ν мю "=" дельта ν мю .

Используйте метрику. Запишите F с верхними индексами как F с нижними индексами, умноженными на соответствующий метрический тензор, суммированный по индексам.

Ф а б "=" г а с г б г Ф с г

Если вы находитесь в плоском пространстве-времени Минковского, то g — постоянная диагональная матрица, и ее не нужно дифференцировать. Если вы относитесь к искривленному пространству-времени, тогда потребуется часть g, и есть способы справиться с этим.

Глядя на член, который вызывает проблему, в пространстве Минковского (плоском пространстве) множители g можно передать из производной, а затем воздействовать на тензор вне производной, чтобы поднять индексы.

Производная инварианта электромагнитного тензора FμνFμνFμνFμνF _{\mu\nu}F^{\mu\nu}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v