Рассчитать распределение среднего и дисперсии с учетом точек данных Гаусса

Стандартная теория распределения для этой модели с$X_1, X_2, \dots, X_n$случайная выборка из$\mathsf{Norm}(\mu, \sigma)$как следует:

$$\bar X \sim \mathsf{Norm}(\mu, \sigma/\sqrt{n}),$$ $$\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \mathsf{Chisq}(n),$$ $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \mathsf{Chisq}(n-1),$$ $$T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim \mathsf{T}(n-1),$$ где $\bar X = \frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i,\,$ $E(\bar X) = \mu;\,$ $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X),\,$ $E(S^2) = \sigma^2.$И, наконец, для обычных данных (только) $\bar X$и $S^2$являются стохастически независимыми случайными величинами, хотя и не независимыми функционально.

$\mathsf{Chisq}$обозначает распределение хи-квадрат с указанными степенями свободы, и$\mathsf{T}$обозначает распределение Стьюдента с указанными степенями свободы. Вы можете найти формальные распределения и функции плотности этих распределений на соответствующих страницах Википедии.

Первое отображаемое отношение чаще всего используется, когда$\sigma$известно и$\mu$должен быть оценен$\bar X.$Второе соотношение чаще всего используется, когда$\mu$известно и$\sigma^2$должен быть оценен$\frac 1 n \sum_{i=1}^n(X_i - \mu)^2.$Эти взаимосвязи легко показать с помощью стандартных формул вероятности, производящих функций моментов и определения распределения хи-квадрат.

Последние два отображали взаимосвязь и независимость$\bar X$и$S^2$часто используются, когда оба$\mu$и$\sigma$неизвестны. Тогда обычно,$\mu$оценивается$\bar S,\,$ $\sigma$к$S^2,\,$и$\sigma$к$S$(Несмотря на то$E(S) < \sigma).$Доказательства более сложны и обсуждаются в текстах по математической статистике.

---

Для особого случая$n = 5,\, \mu = 100,\, \sigma=10$моделирование в статистическом программном обеспечении R 100 000 выборок предполагает (но, конечно, не доказывает), что$\bar X \sim \mathsf{Norm}(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}),\,$ $Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \mathsf{Chisq}(4)$и что$\bar X$и$S$являются независимыми. Код под рисунком также иллюстрирует$E(\bar X) = 100,\,$ $E(S) < 10.\,$ $E(S^2) = 100,$и$r = 0,$в пределах погрешности моделирования (точность до двух, возможно, трех значащих цифр).

set.seed(3218)  # retain for exactly same simulation; delete for fresh run
m = 10^5;  n = 5;  mu = 100;  sg = 10
MAT = matrix(rnorm(m*n, mu, sg), nrow=m)  # m x n matrix: 10^5 samples of size 4
a = rowMeans(MAT)   # m sample means (averages)
s = apply(MAT, 1, sd);  q = (n-1)*s^2/sg^2  # m sample SD's and values of Q
mean(a)
## 100.0139     # aprx E(x-bar) = 100
mean(s);  mean(s^2)    
## 9.412638     # aprx E(S) < 10
## 100.3715     # aprx E(S^2) = 100
cor(a, s)
## -0.00194571  # approx r = 0

par(mfrow=c(1,3))  # enable 3 panels per plot
hist(a, prob=T, col="skyblue2", xlab="Sample Mean", main="Normal Dist'n of Sample Mean")
  curve(dnorm(x, mu, sg/sqrt(n)), add=T, lwd=2, col="red")
hist(q, prob=T, col="skyblue2", ylim=c(0,.18), xlab="Q", main="CHISQ(4)")
  curve(dchisq(x, n-1), add=T, lwd=2, col="red")
plot(a, s, pch=".", xlab="Sample Means", ylab="Sample SD", main="Illustrating Indep")
par(mfrow=c(1,1))