Выборочное среднее и дисперсия

Question

Выборочное среднее и дисперсия

статистика
Математика
нормальное распределение
распределения вероятностей

Rcwt

Позволять $X, Y$ быть IID $\sim N(\mu, \sigma^2)$ .

М "=" \frac{1}{2} (Икс + Д), В "=" (Икс - М)^{2} + (Д - М)^{2}

$M = \frac12(X + Y),\qquad V = (X - M)^2 + (Y - M)^2$

Рассмотрим производящую функцию совместного момента $(M, X - M, Y - M)$ , покажи то $M$ и $V$ являются независимыми.

Мы ничего не знаем о таких вещах, как теорема Кокрана или многомерное нормальное распределение.

Я запутался в том, как вы находите MGF того, кто не дает pmf? Или я должен быть в состоянии выработать pmf? Любая помощь приветствуется, спасибо!

Rcwt

Должно быть поздно, извините, да, не должно быть квадрата - M - это среднее значение выборки, а V - дисперсия выборки.

Делал

Вот набросок доказательства: (1) показать, что X+Y и XY независимы, (2) показать, что M является функцией X+Y, а V функцией XY, (3) сделать вывод.

Rcwt

(2) и (3) тривиальны. Для (1) мне удалось сделать это, используя f(x,y) = f(x)f(y), поскольку X, Y независимы. Затем было выполнено преобразование к g(x+y,xy), чтобы показать, что g(x+y,xy)=g(x+y)g(xy), таким образом показывая, что (X+Y) и (XY) независимы. Но есть ли способ использовать MGF, раз так сказано в вопросе?

Делал

Я понятия не имею, что вы имеете в виду, используя f(x,y) = f(x)f(y) или выполняя преобразование в g(x+y,xy), чтобы показать, что g(x+y,xy)= г(х+у)г(ху) . Какое f, какое g, какое преобразование? Вы, кажется, полагаетесь на какую-то (неустановленную) характеристику независимости, которая ускользает от меня.

Ответы (1)

Выборочное среднее и дисперсия

Должно быть поздно, извините, да, не должно быть квадрата - M - это среднее значение выборки, а V - дисперсия выборки.
Вот набросок доказательства: (1) показать, что X+Y и XY независимы, (2) показать, что M является функцией X+Y, а V функцией XY, (3) сделать вывод.
(2) и (3) тривиальны. Для (1) мне удалось сделать это, используя f(x,y) = f(x)f(y), поскольку X, Y независимы. Затем было выполнено преобразование к g(x+y,xy), чтобы показать, что g(x+y,xy)=g(x+y)g(xy), таким образом показывая, что (X+Y) и (XY) независимы. Но есть ли способ использовать MGF, раз так сказано в вопросе?
Я понятия не имею, что вы имеете в виду, используя f(x,y) = f(x)f(y) или выполняя преобразование в g(x+y,xy), чтобы показать, что g(x+y,xy)= г(х+у)г(ху) . Какое f, какое g, какое преобразование? Вы, кажется, полагаетесь на какую-то (неустановленную) характеристику независимости, которая ускользает от меня.

Майкл Харди · Answer 1

$X-M$ это то же самое, что $(X-Y)/2$ и $Y-M$ такой же как $(Y-X)/2$ .

Запрашиваемый мгф:

\begin{aligned} М_{(М, Икс - М, Д - М)} (с, т, ты) "=" Е (е^{с М + т (Икс - М) + ты (Д - М)}) "=" Е (е^{с (Икс + Д) + т (Икс - Д) / 2 + ты (Д - Икс) / 2}) \\ "=" Е (е^{(с + т / 2 - ты / 2) Икс + (с - т / 2 + ты / 2) Д}) "=" М_{(Икс, Д)} (с + \frac{т - ты}{2}, с - \frac{т - ты}{2}) \\ "=" М_{Икс} (с + \frac{т - ты}{2}) М_{Д} (с - \frac{т - ты}{2}) "=" М_{Икс} (с + \frac{т - ты}{2}) М_{Икс} (с - \frac{т - ты}{2}) \\ "=" опыт ((с + \frac{т - ты}{2}) мю + {(с + \frac{т - ты}{2})}^{2} \frac{о^{2}}{2}) \cdot опыт ((с - \frac{т - ты}{2}) мю + {(с + \frac{т - ты}{2})}^{2} \frac{о^{2}}{2}) \\ "=" опыт (с (2 мю) + с^{2} \frac{2 о^{2}}{2}) \cdot опыт ((т - ты)^{2} \frac{о^{2} / 2}{2}) "=" М_{Икс + Д} (с) М_{Н (0, о^{2} / 2)} (т - ты) \end{aligned}

$\begin{align} & {}\qquad M_{(M,X-M,Y-M)}(s,t,u) = \mathbb{E}\left( e^{sM+t(X-M)+u(Y-M)} \right) = \mathbb{E}\left( e^{s(X+Y)+t(X-Y)/2 + u(Y-X)/2} \right) \\ \\ \\ & = \mathbb{E}\left(e^{(s+t/2-u/2)X+(s-t/2+u/2)Y} \right) =M_{(X,Y)}\left(s+\frac {t-u}{2},s-\frac {t-u}{2}\right) \\ \\ \\ & = M_X\left(s+\frac {t-u}{2}\right) M_Y\left(s-\frac {t-u}{2}\right) = M_X\left(s+\frac {t-u}{2}\right) M_X\left(s-\frac {t-u}{2}\right) \\ \\ \\ & = \exp\left( \left(s+\frac{t-u}{2}\right)\mu + \left(s+\frac{t-u}{2}\right)^2\frac{\sigma^2}{2} \right)\cdot \exp\left( \left(s-\frac{t-u}{2}\right)\mu + \left(s+\frac{t-u}{2}\right)^2\frac{\sigma^2}{2} \right) \\ \\ & = \exp\left( s(2\mu) + s^2\frac{2\sigma^2}{2} \right)\cdot\exp \left( (t-u)^2\frac{\sigma^2/2}{2} \right) = M_{X+Y}(s) M_{N(0,\sigma^2/2)} (t-u) \end{align}$ Сделайте вывод, что вещь, которая первоначально была умножена на

s

$s$ не зависит от того, что первоначально было умножено на

t - u

$t-u$ . Первый

X + Y

$X+Y$ . Последнее

(X - Y) / 2

$(X-Y)/2$ . Вы также можете сделать вывод, что первый распространяется как

N (2 μ, 2 σ^{2})

$N(2\mu,2\sigma^2)$ а последний как

N (0, σ^{2} / 2)

$N(0,\sigma^2/2)$ .

Удивительно просто. Большое спасибо, не могу поверить, что пропустил это!

Выборочное среднее и дисперсия

Rcwt

Rcwt

Делал

Rcwt

Делал

Ответы (1)

Майкл Харди

Rcwt

Распределение совместной гауссовой зависимости от их суммы

«Сглаживание» нормального 2D-распределения

Рассчитать распределение среднего и дисперсии с учетом точек данных Гаусса

Распределение вероятностей. Тематическое исследование с бактериальной популяцией

Нахождение функции, производящей момент X2X2X^2, когда X~N(0,1)X~N(0,1)X\sim N(0,1)

Нормальная случайная величина, независимая от каждого компонента многомерного нормального случайного вектора.

Независимость от суммы нескольких гауссовских случайных величин

Определение того, являются ли случайные величины независимыми

Нормальное распределение среднего значения равномерного распределения

Использование pdf X для поиска pdf Y и вывод пределов, в которых действительна функция плотности вероятности Y?