Расстояние между основными максимумами дифракционной картины NNN-щели и огибающей одной щели

Как заметил Джон Кастер, картина дифракции в дальней зоне представляет собой преобразование Фурье щелей. Для простейшего случая, одиночной щели, дифракционная картина представляет собой преобразование Фурье прямоугольного импульса; то есть функция sinc.

Две щели — это свертка одной щели с парой дираковских$\delta$-функции. Таким образом, дифракционная картина будет произведением FT щели на FT щели.$\delta$-функции. Соответственно шаблон состоит из косинуса (ПФ пары$\delta$-функции), умноженные на ту же функцию sinc, что и раньше. Период косинуса и, следовательно, интервал между нулями обратно пропорционален расстоянию между щелями — сдвиньте щели ближе друг к другу, и нули дифракционной картины разойдутся больше. Однако они всегда периодические, поскольку возникают из функции косинуса.

Ан$N$-щелевое расположение может быть описано как свертка импульсной функции с массивом$\delta$-функции. Дифракционная картина будет состоять из произведения функции sinc на FT$\delta$-функции. Если щели расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, легко показать, что период этой ПФ будет таким же, как и для одиночной пары щелей. Как$N$становится все больше и больше, FT$\delta$-функции будут приближаться к гребенке Дирака. Вы можете увидеть эту тенденцию на приведенном вами рисунке; как$N$увеличивается, «покачивание» между пиками подавляется.

Я объясню вам, почему эксперимент Янга с$N$щели дает приблизительно равноотстоящие друг от друга максимумы с интенсивностью$I_0 N^2$(если$N\ge 3$есть и вторичные максимумы, но они маленькие и ими можно пренебречь$N$большой). На данный момент я буду игнорировать проблемы, связанные с дифракцией, и сосредоточусь только на дальних помехах.$N$когерентных точечных источников, в заключение скажу несколько слов о дифракции. Рассмотрим ряд$N$когерентные точечные источники, разделенные расстоянием$d$, как на следующем рисунке

Можно считать, что лучи света, попадающие в точку$P$на дальнем экране параллельны, и что поле является реальной частью (здесь, как это часто бывает, если нам приходится управлять многими волнами, полезно использовать сложные обозначения)

$$\begin{align} \begin{split} E_P &= E_0 e^{i (kr_1-\omega t)}+ E_0 e^{i (kr_2-\omega t)}+ \dots E_0 e^{i (kr_N-\omega t)} \\ & = E_0 e^{-i\omega t}e^{i kr_1} [1+ e^{ik(r_2-r_1)} +e^{ik(r_3-r_1)} +\dots +e^{ik(r_N-r_1)} ] \end{split} \end{align}$$ где$r_i$это путь от$i^{\textrm{th}}$источник для$P$. Если$r_1$и$r_2$являются двумя верхними лучами, разность хода равна$r_2-r_1=d\sin \theta$(существование$\theta$угловое положение точки$P$на дальнем экране) имеем также$r_3-r_1=2d\sin \theta$и так далее. Определяя$\delta = kd \sin \theta$у нас есть тогда$k (r_2 - r_1) = \delta$,$k (r_3 - r_1) = 2 \delta$и так далее. Итак, мы можем написать $$\begin{equation}\label{9331} E_P = E_0 e^{-i\omega t} e^{ikr_1} [(e^{i\delta})^0 + (e^{i\delta})^1 + (e^{i\delta})^2 + \dots (e^{i\delta})^{N-1}] \end{equation}$$ Но$\sum_{n=0}^{N-1} x^n = \frac{x^N-1}{x-1}$так что это в квадратных скобках $$\begin{equation}\label{7152} \frac{e^{i\delta N}-1}{e^{i\delta}-1} \end{equation}$$ Легко видеть, что$\frac{ e^{\frac{iN\delta}{2}} \left[ e^{\frac{iN\delta}{2}} - e^{-\frac{iN\delta}{2}} \right] }{ e^{\frac{i\delta}{2}} \left[ e^{\frac{i\delta}{2}} - e^{-\frac{i\delta}{2}} \right]}$эквивалентно приведенному выше выражению. Но этот (на первый взгляд некрасивый) способ написания полезен, потому что мы можем эксплуатировать$\sin x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}$(кстати, эту удивительную формулу, написанную Эйлером в середине XVIII века, легко вывести, если принять истинную формулу Эйлера$e^{ix}=\cos x + i \sin x$: начать с общего комплексного номера$z=a+ib$и проверим, что его мнимая часть$\textrm{Im}(z) = \frac{z-z^*}{2i}$, с другой стороны, если$z=e^{ix}$у нас есть$\textrm{Im}(z)=\sin x$, отсюда и формула). Запишем выражение так $$\begin{equation} e^{\frac{i(N-1)\delta}{2}} \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} } \end{equation}$$ Теперь мы записали квадратную скобку более интересным образом, мы можем вернуться и сказать, что к полному электрическому полю в$P$является реальной частью $$\begin{equation}\label{9330} E_P = E_0 e^{-i\omega t} e^{i\left[ k r_1 + \frac{(N-1)\delta}{2} \right]} \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} } \end{equation}$$ Сейчас если$r_1$это расстояние$P$(точка экрана) от первого точечного источника, расстояние$R$из$P$от центра ряда точечных источников (это расстояние можно принять за наилучшее репрезентативное расстояние$P$из ряда источников)$R=r_1 + \frac{1}{2} (N-1) d \sin \theta$(потому что$\frac{(N-1)d}{2}$— расстояние от первого точечного источника до центра строки). Принимая$r_1$, заменив в приведенном выше$E_P$выражение и подставив$\delta$определение тоже, мы можем записать электрическое поле таким образом $$\begin{equation}\label{9329} E_P = E_0 e^{i(kR-\omega t)} \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} } \end{equation}$$ Где$R$— расстояние точки на экране от центра ряда точечных источников. Электрическое поле в$P$- действительная часть этого выражения, и это гармоническая волна в форме$E_{max} \cos(kR-\omega t)$где$E_{max} = E_0 \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} }$является константой (обратите внимание, что член с синусом является константой для данной точки$P$на экране, с его угловым положением$\theta$; считать, что волновое число$k$тоже "дано", и мы предполагаем, что$E_0$не зависит от$\theta$). Напряженность прямо пропорциональна максимальному электрическому полю:$I =\frac{\epsilon_0 c}{2} E_{max}^2 = \frac{\epsilon_0 c}{2} E_0^2 \frac{\sin^2 \frac{N \delta}{2} }{ \sin^2 \frac{\delta}{2} }$. Если мы установим$I_0 = \frac{\epsilon_0 c}{2} E_0^2$, мы получаем $$\begin{equation}\label{7151} I(\theta)=I_0 \left( \frac{\sin \left( \frac{N \pi d\sin \theta}{\lambda} \right)}{\sin \left( \frac{\pi d\sin \theta}{\lambda} \right)} \right)^2 \end{equation}$$ Обратите внимание, что мы не использовали гипотезу$N \gg 1$, и эксплуатируя$\sin (2x) = 2 \sin x \cos x$легко видеть, что этот результат можно использовать для нахождения формулы Юнга (два источника) $$\begin{equation} I (\theta) = 4 I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda_0 L} \right) \end{equation}$$ (очевидно, что если нас интересует только задача о двух щелях, это доказательство не будет проще, но важно показать, что два результата непротиворечивы).

Теперь мы готовы найти положения и интенсивности максимумов. Если$\theta=0$все волны находятся в фазе и у нас должен быть максимум. Интенсивность

$$\begin{equation}\label{7145} I_0 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin (Nx)}{\sin x} \right)^2 = I_0 \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin (Nx)}{\sin x} \right)^2 = I_0 \left( \lim_{x \to 0} \frac{N \cos (Nx)}{\cos x} \right)^2 = I_0 N^2 \end{equation}$$ где мы устанавливаем$\frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} = x$и мы воспользовались правилом де л'Опиталя, чтобы найти предел. Существуют ли предельные значения, отличные от$\theta \to 0$такой, что$x\to 0$? Конечно, если$\sin \theta \to 0$у нас есть$x \to 0$, но единственный$\theta$с физическим смыслом находятся между$-\frac{\pi}{2}$и$\frac{\pi}{2}$, так что с$\theta=0$рассмотрение проблемы под этим углом зрения исчерпало возможности. Однако обратите внимание на то, что следует

• Мы имеем тот же самый неопределенный предел, который решается таким же образом у де Лопиталя не только тогда, когда$x \to 0$но и когда$x\to \pi m$с$m$целое число (помните, что$N$тоже является целым числом, и возможный знак минус удаляется при возведении в квадрат)

• Нет сомнения, что когда$\theta=0$у нас на экране максимальная интенсивность (все волны совпадают по фазе) поэтому любая другая точка с такой же интенсивностью$I_0 N^2$тоже максимум

Делаем вывод, что$\theta$ценности, удовлетворяющие$\frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} = m \pi$, т.е.

$$\begin{equation} d \sin \theta = m \lambda \qquad m \in \mathbb{Z} \end{equation}$$ - угловое положение максимумов с интенсивностью$I_0 N^2$. Если$\theta$маленький,$\sin \theta \approx \theta$и мы видим, что на экране максимумы находятся на равном расстоянии друг от друга$D \Delta \theta$существование$\Delta \theta = \frac{\lambda}{d}$($d$расстояние между точечными источниками) и$D$расстояние экрана.

Наконец, несколько слов о задаче дифракции (это объясняет графики$\frac{I}{I_0}$в вопросе). Мы неявно предполагали$a \ll \lambda$($a$амплитуда щели: мы предполагали «точечные» источники), так что каждый источник освещает экран примерно равномерно (большой центральный дифракционный максимум). Если это не так, то мы должны считать, что каждый «точечный» источник не является точечным, а интерференционное воздействие от разных точек одного и того же источника заставляет нас считать, что интенсивность каждого источника имеет максимумы и минимумы в зависимости от$\theta$. Поскольку ряд источников небольшой и находится далеко от экрана, можно предположить, что этот эффект одинаков для всех источников. Профиль интенсивности настолько «модулируется» этим эффектом, что мы можем объяснить это простым умножением$I(\theta)$по квадрату однощелевой дифракционной функции$\left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2$с$\alpha = \frac{\pi a\sin \theta}{\lambda}$($a$амплитуда щели): расстояние между главными максимумами такое же, но в данном случае единственное с интенсивностью$I_0 N^2$тот, что в центре (потому что$\frac{\sin x}{x} < 1$и только если$x\to 0$у нас есть$\frac{\sin x}{x} \to 1$).