Расстояние между соседними плоскостями в кристалле

Я смог найти только эту некачественную картинку. Во всяком случае, это должно дать вам представление. Например, рассмотрим первую картинку в первой строке:$(l,m,n)=(1,0,0)$в этом случае, и легко проверить, что расстояние между серыми плоскостями равно

$$d=a$$

Во втором случае$(l,m,n)=(1,1,0)$, и вы можете видеть, что

$$d=\frac a {\sqrt 2}$$

и т. д.

Отвечая на вопрос: смежные плоскости — это плоскости, наиболее близкие друг к другу при измерении расстояния по нормали к плоскости. Важно понимать, что каждая точка решетки имеет ровно одну из бесконечного множества плоскостей, описываемых индексами Миллера.$(h k \ell)$прохождение через него. (Я буду использовать$(h k \ell)$вместо$(\ell m n)$как ОП.) Я согласен с тем, что во многих объяснениях отсутствует важная информация, поэтому здесь приведено несколько строгое рассмотрение.

Без учета некоторых частных случаев индексы Миллера определяются следующим образом. Сначала найдите пересечения рассматриваемой плоскости по трем осям кристалла.$\pmb{a}, \pmb{b}, \pmb{c}$в терминах кратных постоянных решетки, т.е.$m a, n b, o c$для целых чисел$m, n, o$. Затем возьмите обратные величины$m, n, o$и найти три целых числа$h, k, \ell$имеют такое же отношение и наибольший общий делитель которых равен 1. В качестве примера рассмотрим плоскость, пересекающую$\pmb{a}$ось во втором узле решетки,$\pmb{b}$ось в третьем узле решетки, а$\pmb{c}$оси в первом узле решетки. Взаимность$2, 3, 1$являются$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1$, которые имеют то же отношение, что и$3, 2, 6$. Так самолет называется$(h k \ell) = (326)$.

Чтобы найти расстояние между соседними плоскостями, полезно использовать «векторы обратной решетки», которые можно определить как

$$\pmb{a^*} = V^{-1}\pmb{b} \times \pmb{c} \, , \quad \pmb{b^*} = V^{-1}\pmb{c} \times \pmb{a} \, , \quad \pmb{c^*} = V^{-1}\pmb{a} \times \pmb{b} \,$$ где$V = \pmb{a} \cdot ( \pmb{b} \times \pmb{c})$- объем элементарной ячейки. По построению они обладают тем удобным свойством, что, например,$\pmb{a} \cdot \pmb{a^*} = 1$, пока$\pmb{a} \cdot \pmb{b^*} = 0$, и так далее. Получается, что вектор$\pmb{H} = h \pmb{a^*} + k \pmb{b^*} + \ell \pmb{c^*}$нормально для$(h k \ell)$самолет. Это можно продемонстрировать, показав, что скалярные произведения$\pmb{H}$с двумя неколлинеарными векторами в$(h k \ell)$-самолет например$n \pmb{b} - m \pmb{a}$и$o \pmb{c} - n \pmb{b}$, равны нулю.

Рассмотрим теперь самолет$P_0$которая проходит через точку решетки в начале координат и определяется формулой$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = 0 \, ,$где$\pmb{r} = x \pmb{a} + y \pmb{b} + z \pmb{c}$для координат$x, y, z$. Благодаря удобным свойствам векторов обратной решетки, описанным выше, мы можем переписать$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = 0$как$h x + k y + \ell z = 0$. Точки решетки – это$\pmb{r}$для которого$x, y, z$являются целыми числами, назовите их$p, q, s$, т. е. имеем$h p + k q + \ell s = 0$. Происхождение — это тривиальный случай, когда$p = q = s = 0$.

Теперь мы хотим найти ближайшую плоскость, назовем ее$P_1$, двигаясь от начала координат по положительному$\pmb{H}$направление. Уравнение$P_1$является$\pmb{H} \cdot \pmb{r} = \delta$, или$h p + k q + \ell s = \delta$для некоторой дельты. Геометрическая интерпретация скалярного произведения означает, что$P_1$должно иметь наименьшее значение$\delta$возможный. Кроме того, поскольку$h, k, \ell$и$p, q, s$все целые числа, то же самое должно быть$\delta$. Наименьшее возможное целочисленное значение$\delta$равно 1. Мы гарантированно сможем найти$p, q, s$удовлетворяющий$h p + k q + \ell s = 1$из-за тождества Безу , которое говорит, что для двух целых чисел$a$и$b$(не то же самое$a$и$b$как и выше, но у нас заканчиваются имена переменных) с наибольшим общим множителем$f$(написано$\mathrm{gcd}(a,b)=f$), существуют целые$x$и$y$(опять же не тот$x$и$y$выше) такой, что$ax + by = f$. Это обобщается более чем на одну пару целых чисел. Таким образом, мы всегда можем найти$p, q, s$такой, что$h p + k q + \ell s = 1$потому что$\mathrm{gcd}(h, k, \ell) = 1$.

Теперь, когда мы знаем$\delta$, мы хотим найти расстояние между$P_0$и$P_1$измеряется вдоль$\pmb{H}$. Это можно сделать, во-первых, путешествуя по$\pmb{a}$от начала до тех пор, пока мы не столкнемся$P_1$, т. е. нахождение$x$так что$H \cdot (x \pmb{a}) = 1$. Это имеет решение$x = \frac{1}{h}$, так что вектор$\pmb{v} = \frac{1}{h} \pmb{a}$достигает от$P_0$в начале$P_1$вдоль$\pmb{a}$направление. Наконец, плоскостное расстояние$d$является проекцией$\pmb{v}$вдоль$\pmb{H}$направление. То есть

$$d = \pmb{v} \cdot \frac{\pmb{H}}{|\pmb{H}|} = \frac{1}{|\pmb{H}|} \, .$$

Для частного случая примитивной кубической решетки все векторы решетки ортогональны с постоянной решетки$a$, т.е.$\pmb{a} = a \hat{\pmb{x}}$и так далее, а векторы обратной решетки равны$\pmb{a^*} = \frac{1}{a} \hat{\pmb{x}}$и так далее. Поэтому$|\pmb{H}| = \frac{1}{a} \sqrt{h^2 + k^2 + \ell^2}$, давая

$$d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + \ell^2}} \, .$$