«Размер атома» с использованием принципа неопределенности

Предположим, у нас есть атом водорода, и мы измеряем положение электрона; мы не должны быть в состоянии точно предсказать, где будет находиться электрон, иначе разброс по импульсу окажется бесконечным. Каждый раз, когда мы смотрим на электрон, он где-то находится, но имеет амплитуду, чтобы быть в разных местах, поэтому существует вероятность того, что его найдут в разных местах. Эти места не могут быть все в ядре; мы предположим, что существует спред в позиции порядка а . То есть расстояние электрона от ядра обычно составляет около а. Будем определять а, минимизируя полную энергию атома.

Разброс импульса примерно ℏ / а из-за соотношения неопределенностей, так что, если мы попытаемся измерить импульс электрона каким-либо образом, например, рассеяв им рентгеновские лучи и проверив эффект Доплера от движущегося рассеивателя, мы не ожидаем, что получим нуль каждый раз. времени — электрон не стоит на месте — но импульсы должны быть порядка п ≈ ℏ / а . Тогда кинетическая энергия примерно 1 2 м в 2 "=" п 2 / 2 м "=" ℏ 2 / 2 м а 2 . (В некотором смысле это своего рода размерный анализ, чтобы выяснить, как кинетическая энергия зависит от приведенной постоянной Планка, от м и от размера атома. Нам не нужно доверять наш ответ таким факторам, как 2 , π , и т.д. Мы даже не очень точно определили а.) Теперь потенциальная энергия минус е 2 на расстоянии от центра, скажем − е 2 / а , где, как определено в томе I, е 2 это заряд электрона в квадрате, деленный на 4 π ϵ 0 . Дело в том, что потенциальная энергия уменьшается, если а становится меньше, но меньше а то есть, тем выше требуемый импульс из-за принципа неопределенности и, следовательно, тем выше кинетическая энергия. Полная энергия (2.10) Е "=" ℏ 2 / 2 м а 2 − е 2 / а . Мы не знаем, что а есть, но мы знаем, что атом собирается пойти на какой-то компромисс, чтобы энергии было как можно меньше. Чтобы свести к минимуму Е , дифференцируем по а , приравнять производную к нулю и найти а . производная от Е является (2.11) г Е / г а "=" − ℏ 2 / м а 3 + е 2 / а 2 , и установка г Е / г а "=" 0 дает значение (2.12) а 0 "=" ℏ 2 / м е 2 "=" 0,528   ангстрем , "=" 0,528 × 10 − 10    метр . Это конкретное расстояние называется боровским радиусом, и, таким образом, мы узнали, что атомные размеры имеют порядок ангстрема, и это правильно. Это очень хорошо — на самом деле, это удивительно, поскольку до сих пор у нас не было основы для понимания размера атомов! Атомы совершенно невозможны с классической точки зрения, так как электроны по спирали входили бы в ядро. ....

Это отрывок из лекций Фейнмана о размерах атома . Читая это, я не мог понять одну вещь; как он написал п ≈ ℏ / а . а является Δ у это неопределенность положения: мы можем найти электрон внутри ± а от ядра. Итак, это означает Δ п ≈ ℏ / а & нет п ≈ ℏ / а .

Фейнман пришел к выводу

...потенциальная энергия уменьшается, если а становится меньше, но меньше а то есть, чем выше требуемый импульс , из-за принципа неопределенности...

Импульс не выше , а неопределенность становится выше «из-за принципа неопределенности».

Кроме того, по мере приближения к ядру увеличивается кинетическая энергия. Итак, почему атом должен идти на компромисс , чтобы уменьшить Е когда он приближается к ядру? Ведь неизбежно, что когда электрон находится очень близко к ядру, он имеет высокую КЭ, не так ли?

Итак, мои вопросы:

  • Как/почему Фейнман писал п ≈ ℏ / а вместо Δ п ≈ ℏ / а ?

  • Почему энергия Е уменьшается при приближении электрона к ядру? В конце концов, КЭ стала бы высокой в ​​непосредственной близости от ядра, не так ли?

Фейнман приводит полуклассический аргумент, комбинируя понятия классической механики, такие как потенциальная и кинетическая энергия, с понятием квантовой механики (неопределенность). Результат этой комбинации не должен быть релевантным теоретическим результатом, но это всего лишь аргумент в пользу того, какого порядка величины можно ожидать, чтобы был фактический результат. Так каков фактический результат? Это решение уравнения Шредингера для потенциала 1/r, которое получается в таком же масштабе. В рамках этой теории, конечно, и потенциальная, и кинетическая энергия являются бессмысленными терминами.

Ответы (3)

Средний вектор импульса электрона, связанного с атомом, точно равен нулю. (Иначе электрон покинул бы атом!)

Средняя величина импульса не может быть равна нулю из-за принципа неопределенности. Итак, Фейнман использует приближение п → "=" 0 → + Δ п п ^ , где величина Δ п исходит из принципа неопределенности и единичного вектора п ^ точки в совершенно случайном направлении.

Что касается вашего второго вопроса, вы почти у цели. Кинетическая энергия становится больше для электрона ближе к ядру — и, благодаря принципу неопределенности, увеличивается и импульс! Это должно быть так, потому что кинетическая энергия приблизительно равна Т "=" п 2 / 2 м .

Привет сэр; Спасибо за ответ. Все еще не очищено, потому что принцип неопределенности говорит не о каких-либо значениях, а о стандартных отклонениях или неопределенностях. Импульс не становится выше, но здесь появляется неопределенность в значении импульса. Я этого не понимаю :(
Если вы повторно сэмплируете импульс, вы получите значения импульса из распределения, ширина которого равна Δ п . Некоторые из этих импульсов будут меньше, чем Δ п , но некоторые будут больше. Получается, что Δ п это хороший средний показатель. Наоборот, если вы неоднократно производили выборку распределения импульсов и всегда находили какое-то значение с величиной, меньшей, чем Δ п , то вы бы сказали, что Δ п является плохой оценкой неопределенности импульса. Стандартные отклонения не совпадают с типичными значениями, но они тесно связаны между собой.
Итак, стандартные отклонения близки к реальным значениям, так ли это? Всегда ли это происходит?
Это всегда верно для переменных, где абсолютная величина среднего значения меньше стандартного отклонения.

Это может быть немного полезно.

Неопределенность импульса электрона в атоме определяется как: ( Δ п ) 2 "=" ⟨ п 2 ⟩ − ⟨ п ⟩ 2 . Электрон, ограниченный ядром, имеет средний импульс, равный нулю, что означает ( Δ п ) 2 "=" ⟨ п 2 ⟩ , но опять же, объяснение Фейнмана, как объяснено в комментарии, было действительно ручным подходом к аппроксимации размера атома.

В КМ этому электрону потребуется все больше и больше кинетической энергии, когда он сблизится с ядром, поэтому в какой-то момент кулоновская сила станет слишком слабой. В результате получается положение равновесия с ядром, т.е. атомом водорода.

Принцип неопределенности Гейзенберга бесполезен, когда речь идет о водородной энергетике. 1 / р потенциал, но для гармонического осциллятора р 2 потенциал, мы можем использовать принцип неопределенности Гейзенберга, чтобы легко вычислить энергию основного состояния.

Вам нужен следующий «принцип неопределенности», который решает 1 / р потенциал и энергия основного состояния атома водорода, когда ψ волна для электрона. Вы можете доказать это, выполнив простое домашнее задание:

∫ | ψ ( Икс , т ) | 2 | Икс | г Икс ≤ ∫ | ∇ ψ ( Икс , т ) | 2 г Икс .

«Размер атома» с использованием принципа неопределенности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v