В чем смысл естественного расширения линии?

Несмотря на удобную фикцию о том, что переходы между квантовыми состояниями возможны только в том случае, если энергия фотона в точности равна разнице энергий между двумя состояниями,

$$\hbar \omega = E_2-E_1,$$ если вы воспримете это буквально, то это будет означать, что даже если энергия фотона будет отличаться только на одну часть в$10^{10^{10}}$, так как это больше не точно равно$E_2-E_1$, то переход не состоялся бы$-$но это, конечно, явный вздор. В экспериментальной физике нет места для математически точных равенств между действительными числами, и все физические величины, включая положения спектральных линий, имеют соответствующую ширину.

Однако для спектральных линий есть два основных вклада в эту ширину:

• Например, может случиться так, что в вашем образце есть куча разных атомов, каждый из которых находится в одинаковых, но немного разных условиях (скажем, в разных электрических или магнитных полях или движется с разной тепловой скоростью по отношению к наблюдателю, что у вас есть) , что приводит к тому, что все разные атомы имеют переходы на немного разных частотах. Это известно как неоднородное уширение линии.
• Однако существует также явление, называемое однородным уширением линии, которое влияет на излучение даже одиночного атома. Это вызвано тем, что эмиссия начинается в заданное время (она не происходила с тех пор, как$t=-\infty$) и он затухает экспоненциально, поэтому в какой-то момент у него закончится популяция возбужденных состояний для распада (в точке, довольно близкой к$t=\infty$), что означает, что излучение не является строго монохроматическим, и преобразование Фурье излучения одного атома обнаружит, что оно имеет ненулевую ширину.

Вам поручено оценить ширину линии, вызванную однородным расширением, на основе требований принципа неопределенности, вызванных временем жизни, указанным в задаче.

В квантовой механике электроны могут переходить из одного состояния в другое с поглощением/испусканием излучения. Однако частота излучения не обязательно должна быть точно$\frac{E_2-E_1}{h}$. Можно использовать немного другую частоту и все же получить энергетический переход. Это означает, что если вы посмотрите на спектр света, излучаемого/поглощаемого атомом, вы видите не резкую дельта-функцию, а плавную кривую (линию), которая выглядит как лоренцевская . Это означает, что линия поглощения шире, чем в случае поглощения только одной частоты. Отсюда и термин «уширение линии» — это явление расширения кривой поглощения (это означает, что все больше и больше частот могут быть поглощены электроном или испущены им). Есть несколько причин, по которым линия поглощения становится шире, например, давление, эффект Доплера и многое другое, но, как было сказано ранее, даже одиночный атом в вакууме имеет «естественное расширение».

Это связано с конечным временем, которое электрон проводит (в среднем) в возбужденном состоянии. Этот переход связан с тем, что гамильтониан атома в вакууме возмущается электромагнитным полем в вакууме. В теории возмущений можно видеть, что чем больше времени требуется возмущению, чтобы вызвать переход, тем более точной должна быть его частота, т. е.$\Delta \omega \Delta t \geq 1$.

Подводя итог, необходимо рассчитать$\Delta \omega$линии поглощения, используя этот принцип неопределенности, но я надеюсь, что объяснение помогло (извините за английские ошибки)

Обычно при проведении расчетов энергетические уровни системы рассматриваются как дискретные. Но на самом деле возбужденные состояния имеют определенную вероятность распада с испусканием фотонов и, следовательно, имеют конечное время жизни. Это означает, что уровни становятся квазидискретными, с небольшой, но конечной шириной; их можно записать в виде$E-\tfrac{1}{2}i\Gamma$где$\Gamma$- полная вероятность всех возможных каналов распада (этот факт также формулируется как оптическая теорема). Часто ширина, которая развивается, довольно мала по сравнению с промежутком между дискретными уровнями, поэтому мы все еще можем измерять резкие переходы. Кто-то еще заметил, что мы не должны давать полные ответы на вопросы домашнего задания, поэтому вместо этого я просто подробно расскажу о концепции и о том, что она означает, поскольку это то, что вы просили. Например, в другом ответе упоминается, что энергетические уровни расширяются в лоренцевы - этот факт не так уж сложно вывести.

Начнем с нуля, с уравнения Шрёдингера

$$\begin{equation} \label{sequation} i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{V} \right)\Psi \end{equation}$$ и разложить решение по волновым функциям невозмущенных состояний системы $$\begin{equation} \label{tdpt} \Psi=\sum_\nu a_\nu (t) \Psi^{(0)}_\nu=\sum_\nu a_\nu (t) e^{-iE_\nu} \psi^{(0)}_\nu \end{equation}$$ Вставив это выражение в любую часть уравнения Шредингера и взяв скалярные произведения с состоянием$\nu$дает $$\begin{equation} \label{tdpt2} i\frac{\partial a_\nu}{\partial t}=\sum_\nu\langle\nu|V|\nu '\rangle a_{\nu '} (t) \ e^{i(E_\nu-E_\nu')} \end{equation}$$ Обычная процедура для теории возмущений, зависящих от времени, выглядит следующим образом. Будем считать, что система находится в некотором начальном состоянии с вероятностью единица$a_1=1$и$a_\nu=0$для$\nu\neq 0$. Затем в ведущем порядке интегрируем обе части, чтобы найти$a_\nu$только сохраняя термины слева, где$\nu'=1$т.е. только сохраняя термины в ведущем порядке в$V$. Порядок расчета$a_\nu$точнее происходит путем итерации. Нас особенно интересует долговременная вероятность распада $$\begin{equation} dw=|a_{\omega, 2}(\infty)|^2 \ d\omega \end{equation}$$ где$\nu=2$некоторое возбужденное состояние и$\omega$обозначает испускание фотона. В обычном случае теории возмущений, зависящей от времени, мы фактически предполагаем, что наши результаты применимы ко времени, большему, чем обратное расстояние между уровнями, но короткому по сравнению со временем жизни энергетических уровней. Теперь давайте ослабим это предположение - когда мы достигнем времени, сравнимого со временем распада состояния$1$затем$a_1=\exp{\left( -\tfrac{1}{2}\Gamma_1 t \right)}$и уравнение для$a_{\omega, 2}$становится $$\begin{equation} \label{modtdpt} i\frac{d a_{\omega, 2}}{dt}=\langle \omega, 2| V |1\rangle e^{i(\omega-\omega_{12})t-\frac{1}{2}\Gamma_1 t} \end{equation}$$ В противном случае, как обычно, и подстановка в формулу для вероятности долговременного распада дает $$\begin{equation} \label{bwdist} dw=|\langle\omega, 2| V|1\rangle|^2 \frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} \ d\omega \end{equation}$$ Если предположить, что ширина мала, то в этом выражении преобладает частотный диапазон$\omega\approx \omega_{12}$, и мы восстанавливаем обычное золотое правило Ферми.

Теперь определим выражение

$$\begin{equation} \Gamma_{1\rightarrow 2}=2\pi \sum_{pol,\boldsymbol{k}}|\langle \omega 2| V|1\rangle|^2 \end{equation}$$ что дает полную вероятность излучения после суммирования поляризаций и направлений движения фотона. Затем, суммируя наше выражение для долговременной скорости затухания аналогичным образом по поляризациям и импульсам, мы приходим к полному частотному распределению испускаемого излучения $$\begin{equation} dw=\frac{\Gamma_{1\rightarrow 2}}{2\pi}\frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} d\omega \end{equation}$$ Это уширение спектральной линии происходит для изолированного покоящегося атома, в отличие от уширения, вызванного взаимодействием атомов с другими атомами ($\textit{collision broadening}$) или наличием в источнике атомов, движущихся с различными скоростями ($\textit{Doppler broadening}$). Это называется$\textit{natural shape}$, и ясно, что это пик Лоренца, как утверждают другие ответы. (Также: мы могли бы продолжить добавлять уточнения к этому расчету, принимая во внимание время жизни уровня$2$).