Можно ли использовать принцип неопределенности Гейзенберга, чтобы таким образом доказать, что электрон не может существовать в ядре?

Ошибка ссылаться на относительность скорости$v$без использования релятивистского импульса$p$. Но если это текст для студентов, которые, возможно, слабо разбираются в теории относительности, то, возможно, это педагогически полезная ошибка. Большинство студентов приходят в класс, зная, что скорость света — это «предел скорости», даже если они имеют лишь смутное представление о том, что происходит, когда объект приближается к этому пределу. Последовательное введение всех концепций, необходимых для обоснования этого аргумента, может оказаться слишком многообещающим для целевой аудитории этого текста.

Физики любят мыслить в энергетических единицах. Правильная версия этого аргумента может состоять в том, чтобы заменить

с

(Нам не нужно возиться с множителями два.) Мы знаем экспериментально, что электрон может быть удален из атома с энергией в несколько эВ. Мы подозреваем, что электрон удерживается вблизи ядра за счет электрического притяжения, которое подчиняется теореме вириала , поэтому его кинетическая энергия$T$и его энергия связи$U$имеют одинаковую величину,$T \approx -U$(без учета двойки). Принцип неопределенности гласит, что любая частица, ограниченная ядром,$\Delta x \lesssim 1\rm\,fm$, должна иметь неопределенность импульса$c\Delta p \gtrsim 200\rm\,MeV$. Для электрона масса$m_e c^2 \approx \frac12\rm\,MeV$, этот импульс является гиперрелятивистским, а соответствующая кинетическая энергия равна$T\approx E\approx pc$. Но если бы электрон был связан в потенциальной яме глубиной 200 МэВ, вы не смогли бы ионизировать атом фотоном эВ-масштаба. Что-то должно дать.

Обратите внимание, что если мы сделаем то же самое для нуклона, захваченного в ядре, с массой$m_N c^2 \approx 1000\rm\,MeV$, мы можем в основном обойтись без использования нерелятивистской кинетической энергии:

Фактические энергии разделения нуклонов обычно составляют около 10 МэВ, поэтому, если мы предположим,$T\approx |U|$это совсем не плохая догадка. Разумно сказать, что размер ядра напрямую связан с энергиями, участвующими в ядерном взаимодействии, по принципу неопределенности. И в этом отношении размер атома напрямую связан со шкалой энергий связи электрона:

Конечно, когда вы действительно находите волновую функцию, вы не используете принцип неопределенности: вы используете волновую механику уравнения Шредингера. Но принцип неопределенности — это, по сути, утверждение о том, как волны ведут себя математически, поэтому в коэффициенте двойки результат будет хорошим. И если вы оставите землю с коэффициентом двойки и тщательно подсчитаете, вы обнаружите, что неопределенности в положении и импульсе, связанные с реальной волновой функцией, всегда больше, чем минимум, установленный принципом неопределенности.

Что касается ваших конкретных жалоб:

1. Неопределенность не имеет отношения к реальным значениям.

Это просто не так. Вместо одного атома представьте ансамбль из 100 атомов, закрепленных на своих местах. Если электроны не покидают свои атомы, мы знаем, что средний вектор импульса электронов должен быть равен нулю. Принцип неопределенности описывает неопределенность «одна сигма», поэтому, если вы измерили импульсы электронов для ваших 100 атомов, вы ожидаете, что около 32 из них будут иметь модуль импульса.$|p|$ больше , чем$\Delta p$, и около 5 из них имеют модуль импульса$|p| > 2\Delta p$. (Мы чаще говорим о 68% и 95% «доверительных интервалах».) Если вы выберете электрон наугад и перед измерением угадаете величину его импульса,$\Delta p$является лучшим предположением, чем ноль.

2. Теперь я разделил вселенную на маленькие сферы, радиус каждой из которых подобен ядру. Применяя принцип неопределенности Гейзенберга к каждой такой сфере, электрон не может существовать ни на одной из них.

На самом деле это разумный вывод. Следующий шаг — не тот, который вы делаете («Следовательно, электрона не существует»), а вместо этого парадоксальное утверждение о размере: холодные электроны большие, и их нельзя ограничить. Если вы хотите, чтобы электрон был ограничен небольшим объемом, он должен участвовать в каком-то высокоимпульсном взаимодействии.

Мы часто говорим об электроне как о «точечной частице» с «нулевым размером». Мы говорим это потому, что, по-видимому, не существует никакого другого взаимодействия, которое включается, когда вы исследуете электрон на малых расстояниях. Такое короткодействующее взаимодействие было бы признаком того, что электрон имеет некоторую субструктуру. (Например, ядерное взаимодействие меняет характер на расстояниях, близких к фемтометру, что косвенно связано с составом нуклонов из кварков). точечный «настоящий электрон», который мы можем где-то локализовать. Но, как вы обнаружили, это несовместимо с принципом неопределенности. Есть много ситуаций, когда ментальная модель «холодные электроны большие» полезна.

Одно физическое последствие «холодные электроны большие» происходит в белых карликах, которые сдерживаются вырождением электронов. По мере того, как вы делаете звезду горячее, неопределенность в импульсах электронов$\Delta p$становится больше (потому что каждый электрон в среднем хранит больше энергии). Дополнительная неопределенность в$\Delta p$позволяет объем$(\Delta x)^3$связанный с каждым электроном, чтобы сжаться. Белые карлики становятся меньше по мере того, как вы их нагреваете, потому что холодные электроны большие.

Когда я говорю, что ошибка в процитированном вами учебнике может быть полезна с педагогической точки зрения, я имею в виду, что аргумент учебника умещается в пять предложений и четыре строки математики. Мой более правильный ответ значительно длиннее и сокращен за счет большого количества математических «не обращайте внимания на человека за занавеской», что легко оправдать, но вызовет дискомфорт у начинающего студента.

Приведенное здесь решение неверно. Он использует нерелятивистское выражение для импульса, а затем сравнивает скорость со скоростью света, которая является пределом скорости релятивистской механики. Если мы последовательно используем релятивистское выражение для импульса,

значение скорости будет намного меньше и меньше, чем$c$, что не приводит к противоречию с предположением.

Принцип неопределенности заключается в том, что x и p являются парами Фурье. То есть стандартное отклонение (грубо называемое неопределенностью) положения волновой функции, умноженное на стандартное отклонение импульса волновой функции, должно быть больше или равно hbar/2. Если вся волновая функция сжата до размера ядра, соответствующее минимальное стандартное отклонение импульса будет настолько велико, что сила притяжения ядра больше не сможет удерживать электрон, и электрон очень быстро улетит в вакуум (по сути, , существует так много импульсных состояний, включенных в волновую функцию электрона, которые обладают большей энергией, чем сила притяжения, что электрон просто улетает). Связанное состояние электрона с наименьшей энергией (т.е.

Этот ответ дополняет другие: я чувствую, что фраза «не может существовать внутри ядра» выбрана неудачно, производит впечатление, несовместимое с вычислением, с которым она связана, и это может быть важным источником путаницы вопрошающего.

Показанный расчет (после исправлений, как описано в других ответах) демонстрирует, что электрон не может быть заключен внутри сферы размером с ядро. То есть он не может находиться в состоянии, когда его положение никогда не находится вне этой сферы.

Но простое английское значение выражения «не может существовать внутри» иное: « никогда не может быть внутри». Показанный расчет не демонстрирует ничего подобного, да и не соответствует действительности. Если мы думаем с точки зрения «настоящих точечных электронов», против которых возражает Роб , атомные электроны иногда находятся внутри связанного с ними ядра. Если вместо этого мы предпочитаем ментальную модель «холодные электроны большие», атомные электроны занимают объемы пространства, перекрывающие ядро. (С точки зрения реальной математики волновые функции атомных электронов имеют амплитуду$> \epsilon$для пространства как внутри, так и вне ядра. Если я правильно помню, для самой низкой энергии$s$орбиталей амплитуда на единицу объема наибольшая внутри ядра, хотя наибольшая общая вероятность находится на расстоянии, сравнимом с боровским радиусом.)

Атомные электроны, находящиеся «иногда» внутри связанных с ними ядер, имеют реальные наблюдаемые физические последствия: иначе захват электрона не мог бы произойти.

Это кажется странным способом сделать это.

Концептуально проще, если мы сделаем$\Delta x$предмет и спорить, если он больше, чем$10^{-15}m$что электрон не может содержаться в ядре.

Поскольку мы ничего не знаем о скорости электрона, если бы он находился в ядре,$\Delta v$можно поставить на максимальное значение$3\times 10^8$давать$\Delta x = 2 \times 10^{-13}m$, поэтому он не может содержаться в ядре.

Если$\Delta v$были ниже,$\Delta x$становится выше.

Неопределенность не имеет отношения к реальным значениям. Это степень измерения того, насколько мы неправы, а не то, какое неправильное значение мы получаем.

Ну, я полагаю, это немного зависит от того, какую квантовую интерпретацию вы используете (в этом может быть доля правды, скажем, в интерпретации пилотной волны), но в Копенгагенской интерпретации это определенно неверно; измерение скорости является случайной величиной, а неопределенность относится к стандартному отклонению этой случайной величины.

Член Δv не должен иметь ничего общего с фактической скоростью, и поэтому я считаю, что это неправильно.

В копенгагенской интерпретации фиксированной скорости нет. Скорость распределяется по диапазону значений, и$\Delta v$является измерением того, насколько распространены эти значения.

Применяя принцип неопределенности Гейзенберга к каждой такой сфере, электрон не может существовать ни на одной из них. Следовательно, электрона не существует.

Волновая функция электрона не может быть полностью заключена ни в одной из этих сфер. Это не значит, что его не существует. Формулировка в книге вводит в заблуждение, в дополнение к неправильной математике, но основная идея верна: большая часть вероятной массы электрона содержится в сфере радиуса$10^{-15}$m , его скорость должна быть разбросана по интервалу, включающему скорость убегания от ядра, и, таким образом, это состояние не является устойчивым.

В полном расчете размер электронного облака вокруг ядра определяется путем решения уравнения Шредингера, решение которого просто намного больше, чем ядро. В классическом понимании вы ожидаете, что электрон может просто «прилипнуть» к ядру. Приведенный текстовый пример является попыткой дать некоторую интуицию квантовому результату, подойдя к нему под другим углом, показывая, что притяжение кулоновской силы должно в некотором смысле бороться с кинетической энергией ограниченного электрона, подразумеваемой в принципе неопределенности Гейзенберга. .

Я думаю, что текст делает небольшую педагогическую ошибку, слишком сильно фокусируясь на скорости света, которая на самом деле не имеет значения, и приводит к некоторым обвинениям в том, что текст просто неверен. Суть этого общего расчета состоит в том, что в квантовой механике из-за принципа неопределенности частица, особенно ограниченная по положению, должна иметь высокую кинетическую энергию.

Задача могла бы пойти еще дальше и рассчитать энергию, соответствующую этой скорости, но для тех, у кого больше опыта, как только вы сделаете этот расчет и увидите$v\gg c$вы понимаете, что такой электрон должен быть очень релятивистским и иметь огромную энергию, которая намного, намного больше, чем потенциальная энергия притяжения, и поэтому сразу неправдоподобна. Подозреваю, что это ход мыслей автора.

Однако, чтобы ответить прямо,

(1) Это в основном просто неправильно. Я бы посоветовал вам посмотреть, как$\Delta x$и$\Delta p$рассчитываются с учетом реальной волновой функции в терминах ожидаемых значений. Принцип очень много говорит вам о возможных реальных значениях$x$и$p$.

(2) Это верно до последнего шага. Согласно этому аргументу, нерелятивистский электрон не может существовать ни в одной сфере размером с ядро ​​во Вселенной, но он может существовать распределенным между многими, что дает ему гораздо большее пространство.$\Delta x$