Разница между кривизной и скалярной кривизной Риччи?

Ваша формула$\tau = \frac{dt}{ds}$требует исправления, а именно$t$это не просто любой старый касательный вектор, а касательный вектор единичной длины . Кроме того, это понятие кривизны, известное как «геодезическая кривизна», применимо только к кривым (одномерным объектам) в пространстве, причем единственным параметром является$s$.

С другой стороны, кривизна Риччи применима только к объектам в пространстве двух и более измерений.

Таким образом, вы не найдете много способов прямого сравнения между этими двумя типами кривизны.

Тем не менее, есть некоторые косвенные сравнения в некоторых ограниченных ситуациях. Одна особенно тесная связь возникает для 2-мерной поверхности$S$в трехмерном пространстве. Кривизна Риччи в точке$P \in S$равно гауссовой кривизне (потому что в двух измерениях в приведенной вами формуле сжатия нечего сжимать). А гауссова кривизна равна произведению двух различных геодезических кривизн, а именно так называемых «основных кривизн», которые являются максимальным и минимальным значениями$\tau$для кривых, проходящих через$P$.