Разница между ∂∂\partial и ∇∇\nabla в общей теории относительности

Являются ли эти квадратные скобки стандартной записью в физике?

Да. См., например, заметки Шона Кэрролла . По крайней мере, я могу сказать вам из двух других классических ссылок, использующих это обозначение: «Общая теория относительности» Вальда (1984 г.) и «Первое введение в общую теорию относительности» Шютца (2009 г., самое последнее издание).

Если я нахожусь в неизогнутом$\mathbb M$Минковски$(1, 3)$пространство, где у меня нет кривизны (поскольку$\eta_{\mu\nu}$является$\mathop{diag}(1, -1, -1, -1)$?), я думал, что$\partial_\mu = \nabla_\mu$. Могу ли я написать$\nabla_\mu$вместо моих частных производных или они означают что-то другое?

Вы можете использовать их безразлично в этом случае . Однако НЕТ, если вы переключитесь на недекартовы координаты (например, сферические координаты), потому что в этом случае коэффициенты связи вообще не равны нулю, даже при отсутствии кривизны , и поэтому ковариантные производные могут отличаться от обычных частных производных, даже в плоском пространстве.

Я бы просто не стал смешивать символы, иначе в будущем вам придется приложить дополнительные усилия, чтобы избавиться от этой привычки, когда вы узнаете об ОТО и искривленных пространствах.

Это определения:

$\partial_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}$

$\nabla_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}V^{\alpha}$

Так называемые коэффициенты связи$\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}$. Их определение состоит в определенной комбинации частных производных элементов метрики. В плоском пространстве и декартовых координатах их можно игнорировать: они равны нулю, поскольку все элементы метрики — это просто постоянные числа,$(1,-1,-1,-1)$. Однако это не означает, что они равны нулю в специальной теории относительности вообще: например, диагональные элементы метрического тензора в сферических координатах являются функциями координат, а именно:$(1, -1, -r^2, -r^2 sin^2 \theta)$хотя пространство плоское.

Если вам интересно привыкнуть к ковариантным производным и тензорным вычислениям вообще, не вкладывая слишком много усилий, предлагаю вам последнюю главу (особенно решаемые задачи) классической небольшой книги "Векторное исчисление" (М. Р. Шпигель) из Серия Шаум. И, чтобы получить представление о геометрическом значении коэффициентов связи, погуглите «Параллельный транспорт». В упомянутой выше книге Schutz также есть очень хорошее объяснение.