Вопрос о полностью антисимметричном единичном псевдотензоре

В книге говорится о преобразовании полностью антисимметричного единичного псевдотензора из некриволинейной системы Икс ′ к криволинейной системе Икс , можно использовать

Е я к л м "=" ∂ Икс я ∂ Икс ′ п ∂ Икс к ∂ Икс ′ р ∂ Икс л ∂ Икс ′ с ∂ Икс м ∂ Икс ′ т е п р с т

Я понимаю эту часть.

  1. Но затем он говорит, что это также:
    Е я к л м "=" Дж е я к л м

Почему это?

  1. В приведенной выше формуле Дж определяется как
    Дж "=" ∂ ( Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 ) ∂ ( Икс ′ 0 , Икс ′ 1 , Икс ′ 2 , Икс ′ 3 )

Каково значение Дж в этом определении? Матрица 4х4?

Ответы (2)

По подвопросу 2:

Дж   "="   дет Дж я Дж
является определителем матрицы Якоби с элементами
Дж я Дж   "="   ∂ Икс я ∂ Икс ′ Дж .
( Дж также известен как определитель Якоби , ср. удаленный ответ Майкла Зайферта.) Таким образом, лучшая запись для последней формулы OP была бы

Дж   "="   дет ∂ ( Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 ) ∂ ( Икс ′ 0 , Икс ′ 1 , Икс ′ 2 , Икс ′ 3 ) .

Подвопрос 1 следует из свойств определителя и цепного правила.

Наверное тут матрица была бы Дж я Дж ?
Ну, я пытаюсь провести различие между матрицей и ее (матрицей) элементами.
Можете ли вы дать мне больше подсказок, чтобы доказать 1? Я попробовал 2D-кейс, и, наконец, мне нужно доказать, например,
∂ Икс я ∂ Икс ′ 1 ∂ Икс к ∂ Икс ′ 0 е 01 "=" ∂ Икс 0 ∂ Икс ′ 0 ∂ Икс 1 ∂ Икс ′ 1 е я к
как е я к относится к ∂ Икс я ∂ Икс ′ к ?

Е я к л м "=" ∂ Икс я ∂ Икс ′ п ∂ Икс к ∂ Икс ′ р ∂ Икс л ∂ Икс ′ с ∂ Икс м ∂ Икс ′ т е п р с т , "=" дельта [ а я дельта б к дельта с л дельта г ] м ∂ Икс а ∂ Икс ′ п ∂ Икс б ∂ Икс ′ р ∂ Икс с ∂ Икс ′ с ∂ Икс г ∂ Икс ′ т е п р с т , "=" 1 4 ! е я к л м е а б с г ∂ Икс а ∂ Икс ′ п ∂ Икс б ∂ Икс ′ р ∂ Икс с ∂ Икс ′ с ∂ Икс г ∂ Икс ′ т е п р с т , "=" ( 1 4 ! е а б с г е п р с т ∂ Икс а ∂ Икс ′ п ∂ Икс б ∂ Икс ′ р ∂ Икс с ∂ Икс ′ с ∂ Икс г ∂ Икс ′ т ) е я к л м , "=" Дж е я к л м

Вопрос о полностью антисимметричном единичном псевдотензоре
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v