Тензор кручения: определение

Соединение (в данном случае соединение Levi-Civita)$\Gamma^\alpha{}_\beta$является одноформенным. Мы можем выразить это как (в координатном (голономном) базисе)

$$\Gamma^\alpha{}_\beta \equiv \Gamma_\mu{}^\alpha{}_\beta\, dx^\mu \tag 1$$ с другой стороны, в случае спиновой связи имеем $$\omega^I{}_J \equiv \omega_\mu{}^I{}_J\, dx^\mu \tag 2$$ В приведенных выше уравнениях есть два типа индексов. Я бы назвал индексы, которые появляются только в левой части уравнений: $\{\alpha,\beta\}$для уравнения (1) и $\{ I,J \}$для уравнения (2) индексы векторного пространства или индексы преобразования (не стандартные слова), и я бы назвал индекс $\mu$на обоих ур. индекс формы .

Рассмотрим запись уравнения только с индексами векторного пространства

$$\nabla {\bf e}^a = \Gamma^a{}_b {\bf e}_a \;.$$ Есть два соглашения, чтобы писать в терминах с индексом формы

КОНВЕНЦИЯ 1

$$\nabla_c {\bf e}^a = \Gamma_c{}^a{}_b {\bf e}_a =: \Gamma^a_{\underline{c}b}{\bf e}_a\;,$$ где подчеркивание указывает, что это индекс формы.

КОНВЕНЦИЯ 2

$$\nabla_c {\bf e}^a = \Gamma^a{}_{bc} {\bf e}_a =: \Gamma^a_{b \underline{c}}{\bf e}_a\;,$$ где подчеркивание указывает, что это индекс формы. В обоих случаях $c$является индексом формы.

Если вы заметите, какой индекс является индексом формы, вы никогда не спутаете.

Ваше второе уравнение

$$T{^a_{\ \ bc}}e_a=\nabla_b e_c-\nabla_c e_b=(\Gamma^a_{\ cb}-\Gamma^a_{\ bc})e_a \tag 3$$ очевидно использовать КОНВЕНЦИЮ 2 , мы можем написать $$T{^a_{\ \ bc}}e_a=\nabla_b e_c-\nabla_c e_b=(\Gamma^a_{\ c\underline b}-\Gamma^a_{\ b\underline c})e_a \tag 4$$ но ваше третье уравнение использует КОНВЕНЦИЮ 1, которую мы можем записать как $$T^a_{\ \ bc}= \Gamma^a_{\underline b c}-\Gamma^a_{\underline c b}. \tag 5$$

$T^a_{\ \ bc}$в (4) и (5) совпадают.