Разница между равномерным темпераментом и справедливой интонацией

Каждая нота имеет высоту тона , определяемую основной частотой звуковой волны, которая ее производит. Когда у вас есть две разные ноты, у вас есть две разные высоты тона, вызванные двумя разными частотами. Расстояние между этими нотами называется интервалом и соответствует соотношению частот ноты. Например, если одна нота на октаву выше второй, их частоты будут иметь соотношение 2:1.

В Just Intonation , который исторически был распространен в западной музыке, по крайней мере, в период барокко, интервалы определяются путем принуждения нот иметь частоты, которые являются небольшими целочисленными отношениями друг к другу. Например, совершенная квинта — это 3:2, совершенная четвертая — 4:3, большая терция — 5:4, а малая терция — 6:5. В исторической западной музыке они обычно останавливались на этом (интервал 7:6 не используется), а все остальные интервалы являются тогда комбинациями этих интервалов. Преимущество этой системы в том, что, поскольку частоты численно связаны друг с другом, они звучат очень согласно или чисто для слуха. Недостатком является то , что эти чистые интервалы существуют только в одной тональности; вне этого интервалы начинают разрушаться.

Например , если вы начнете с A ♭ и подниметесь на большую терцию, вы получите C (с соотношением 5: 4 = 1,25). Если вы подниметесь еще на одну большую терцию, вы достигнете E (5:4 x 5:4 = 25:16 = 1,5625). Если затем вы подниметесь еще на одну большую треть, вы достигнете G♯ (5:4 x 5:4 x 5:4 = 125:64 = 1,953125). Как видите, это не совсем соответствует следующему наивысшему A♭ (которое по определению должно иметь соотношение 2:1). Основная математическая проблема заключается в том, что независимо от того, сколько раз вы повторяете любое из этих соотношений (кроме октавы), вы никогда не вернетесь к степени двойки, что означает, что вы никогда не вернетесь к исходной высоте звука (в любой октаве). ). Что также означает, что вы либо должны иметь бесконечное количество нот в своей гамме, либо вам нужно где- то добавить нечистый интервал , чтобы вернуться к тому, с чего вы начали.

Если вы хотите играть во множестве разных тональностей и поддерживать эти чистые интервалы, одним из возможных решений является использование инструментов, которые могут свободно изменять высоту звука, таких как скрипки или голоса, чтобы вы всегда могли настроиться на правильный интервал. Это часто делают певцы подсознательно, даже в западной музыке, просто находя то, что звучит хорошо.

Однако многие инструменты не могут этого сделать; особенно клавишные и ладовые инструменты, оба из которых должны иметь предопределенный строй. Одна из возможностей для них — начать добавлять кучу дополнительных нот: например, сделать A♭ и G♯ двумя разными нотами. Тем не менее, таких нот может быть бесконечное количество, поэтому вещи могут довольно быстро стать безумными, как эта клавиатура с 24 нотами на октаву:

Этот подход на самом деле не получил широкого распространения в западной музыке.

Вместо этого решение, разработанное западной музыкой, называется 12-Tone Equal Temperament (12-TET). Вместо того, чтобы приводить частотные отношения к чисто звучащим целочисленным отношениям, он идет на компромисс, разделяя каждую октаву на двенадцать интервалов одинакового размера и складывая их вместе, чтобы получить большие интервалы. Отношение частот, необходимое для этого небольшого интервала (который оказывается половиной шага), равно 12-му корню из 2 (2 ^1/12 = 1,059463...), так как умножение его 12 раз дает обратно 2 (октаву). . На самом деле термин «отношение» немного неверен, поскольку на самом деле это иррациональное число.

Если вы объедините 7 таких маленьких интервалов (2 ^7/12 = 1,4983...), вы получите близкое приближение к чистой чистой квинте (3:2 = 1,50). Если вы объедините четыре из них (2 ^4/12 = 1,2599...), вы получите менее близкое приближение к чистой мажорной терции (5:4 = 1,250), которое все еще несколько пригодно. Но ключевой момент заключается в том, что если все интервалы одинаково расстроены, ни одна тональность не будет хуже другой. Вы должны пожертвовать чистотой интервалов, но это относительно тонкий эффект для нетренированного слуха.

Вот видео, демонстрирующее оба типа интервалов:

TLDR: просто интонация относится к использованию математически простых соотношений между парными нотами; правильно настроенные интервалы объективно более согласны, чем неправильно настроенные интервалы. Однако математически невозможно построить шкалу фиксированных высот, в которой все возможные интервалы точно настроены, а некоторые могут даже звучать довольно плохо. 12 ТЕТ — один из способов компрометации при настройке шкалы; он одинаково расстраивает все интервалы, так что ни один интервал не является ни совершенно правильным, ни ужасно далеким от того, чтобы быть правильным.

Простой ответ: одно не лучше другого. Они служат разным целям в соответствии с разными музыкальными традициями.

Просто интонация — это чистая настройка в соответствии с чистыми математическими обертонами, издаваемыми музыкальными инструментами. Когда инструмент настроен только на интонацию, он более или менее способен играть только в одной тональности и использовать ограниченное количество аккордов и гармоний. Это идеально подходит для индийской музыки (которая опирается на сложные мелодии, гудения и открытые интервалы, но не имеет места для западных последовательностей аккордов и гармоний) и музыки многих других культур.

12-тональная равномерная темперация - это компромисс, разработанный в западной музыке, который не получил широкого распространения примерно 150 лет назад. В 12-тональной равномерной темперации интервалы между нотами немного изменены, чтобы сделать их менее чистыми. Это позволяет инструменту, настроенному таким образом, играть во всех западных тональностях и во всех режимах, но со всеми интервалами и аккордами, которые в разной степени немного расстроены. Однако эти компромиссы считаются приемлемыми для западных музыкантов и слушателей. Это позволяет одному инструменту играть западную музыку, которая основана на сложных западных аккордах и гармониях и может в любое время модулировать разные западные тональности и режимы.

Классическая индийская музыка звучала бы неправильно и неаутентично, если бы вы играли ее на инструментах, настроенных на 12-тональную равную темперацию (таких как западная гитара или фортепиано). Некоторые музыканты и композиторы находили компромиссы, комбинируя традиционные индийские инструменты с западными инструментами (настроенными на 12-тональную равную темперацию), но я подозреваю, что эти композиции теряют часть характера, который делает музыку звучащей традиционно индийской.

Этимология, математика и акустика

Эти два термина могут означать разные вещи в зависимости от того, с кем вы говорите, особенно потому, что они не обсуждаются так подробно в учениях по теории музыки. Естественно, это делает терминологию более расплывчатой ​​и менее согласованной. Вы, вероятно, уже хорошо их понимаете. На базовом уровне именно интонация — это когда конкретный гармонический интервал идеален для человеческого уха.

Для некоторых это были бы участники оркестра, настраивающие свою интонацию так, чтобы в аккорде не было биения. Это можно было бы назвать справедливым. Чаще всего это отношение интервалов целыми числовыми отношениями. Для получения дополнительной информации об этом, вам нужно понять некоторые основы акустики.

Синусоидальная волна — это самый простой тип звука, который вы можете получить. Флейты очень близки к чистой синусоидальной волне, и вы, скорее всего, слышали, как они воспроизводятся в электронном виде. Когда две синусоидальные волны взаимодействуют, они могут делать это конструктивно или деструктивно. На следующем изображении есть три волны. Первая — это синусоида, представляющая наш корень, а вторая — синусоида, представляющая нашу пятую часть. Третье — их вмешательство:

Если бы играла третья волна, вы бы услышали оба тона, и они были бы совершенно правильными. Теперь обратите внимание на циклы. Первая волна имеет два цикла в тот же период, что и вторая волна — три. В этот момент они идеально совпадают по фазе друг с другом и оба находятся в начале нового цикла. Говорят, что эти волны имеют соотношение 2:3. Это просто идеальная пятерка. Пока они остаются справедливыми, их циклы будут выстраиваться с постоянным интервалом. Это вообще приятный эффект. К сожалению, настроить всю нашу музыку таким образом гораздо сложнее, чем можно было бы ожидать.

История

О Пифагоре обычно говорят в сообществах, занимающихся только интонацией и микротональностью, и ему часто приписывают такие открытия, как погружение вибрирующей струны пополам, чтобы получить октаву. Независимо от того, правда это или нет, Пифагор и его последователи сильно интересовались музыкой и считали ее связь с числами божественной. Он попытался наложить квинты друг на друга, чтобы создать шкалы, отражающие эти убеждения, но столкнулся с проблемой. Соотношение частот для октавы составляет 1:2, поэтому удвоенная частота представляет собой октаву. Так что любая октава нашего корня должна быть корнем, умноженным на степень 2. Квинты — это степени 3. Он рассмотрел это геометрически с помощью пентаграмм, но все же вскоре пришел к неутешительному выводу. Невозможно, чтобы степень числа 2 равнялась степени числа 3. Квинтовый круг никогда не замкнется на октаву. Информации о пифагорейском строе гораздо больше, а пока давайте двигаться вперед.

Музыкальный строй развивался, и многие пытались решить эту проблему квинтового круга. Я хотел бы отметить, что круг квинт, конечно, не единственный способ добиться правильной интонации. Тем не менее, люди были очень обеспокоены. Если вы оставите этот промежуток между последней квинтой и следующей октавой, вы не столкнетесь со многими проблемами в корневой тональности. Фактически, это один из способов получения мажорной пентатоники. Однако переход на другие клавиши может быстро стать некрасивым. Строй, победивший в современных западных музыкальных традициях, — равнотемперированный.

Больше математики

Если вы сгладите квинту, которую используете в своем квинтовом круге, круг замкнется. Квинта, которую мы используем в качестве генератора, представляет собой лишь маленькую бемоль совершенной квинты, дает нам довольно много созвучий для работы и закрывается после 12 квинтов. Это называется закалкой пятой, отсюда и название. С нашим пятым он создает равный темперамент. Теперь мы слышим частоты логарифмически, а это означает, что разница в Гц между двумя интервалами будет постепенно увеличиваться по мере продвижения вверх по октавам. Разница между A4 и A5 составляет 440 Гц, а разница между A5 и A6 вдвое больше, чем при 880 Гц. Итак, чтобы разделить октавы на равные по звучанию интервалы, мы используем степени дробей. Это необходимо так же, как извлечение корня из квадрата, но мне больше нравится такое обозначение.

Для октавы, разделенной на m равных частей, интервал из n шагов будет равен 2 ^н/м . Малая терция в 12 тет составляет 3 тона (полутона). Таким образом, этот интервал будет 2 ^3/12 . Хорошая вещь в этом заключается в том, что вы можете транспонировать мелодию в любую тональность, и ее интервалы будут иметь те же качества. Это также облегчает создание ладовых инструментов. И действительно, большинство людей не видят разницы, потому что 12 тет довольно близко к просто интонации.

Если вы хотите по-настоящему чистых, как звоночек, не запутанных тонов, вам нужна только интонация. Мы слышим музыку в промежутках. Как раз интонация есть пифагорейские интервалы, выраженные в соотношениях. То, что мы называем идеальным пятым интервалом, равным 7 полутонам, представляет собой соотношение частот 3:2. Если вы сыграете ее вместе с основной нотой, она совпадет в совершенной чистой гармонии. Однако отношения Пифагора становятся более сложными, выражаясь как X ^ m / Y ^ n, где вы можете получить 128/27 или даже (80 * 7) / (3 * 5) в качестве соотношения тонов в некоторой шкале.

Проблема с такими теоретически чистыми отношениями на фортепиано, разделенном на 12 полутонов на октаву, заключается в том, что повышение на 7 полутонов от C до G может дать точное соотношение 3:2, но повышение на 7 полутонов от D до A приведет к нет. - По сути, ваши композиции ограничены игрой в тональности C на фортепиано в тональности C, если вы хотите играть с вашим набором чистых частотных интервалов гаммы.

Бах в своем трактате «Хорошо темперированный клавир» решил эту проблему, равномерно подтасовав интервал между всеми 12 полутонами. Любой скачок на 7 полутонов, начиная с любой клавиши, даст одинаковый частотный интервал. К сожалению, такое расположение является компромиссным, и этот интервал больше не является чистым точным соотношением 3:2.

Преимущество этого заключается в том, что любая песня может быть мгновенно перенесена из одной тональности в другую без изменения ее интервального вкуса, и что пианино больше не нужно создавать с учетом первичной тональности. Песни в тональности F# или Db теперь имеют одинаковые мутные интервалы между собой.

Последние синтезаторы вернули возможность просто интонации, когда вся клавиатура или отдельные аккордовые ноты переназначаются на тональность или основную ноту момента, чтобы звучать чисто.

В частности, равномерная темперация обеспечивает соотношение 2 ^ (1/12): 1 для каждого полутона. После умножения на 12 полутонов вы получите соотношение 2:1, октаву, единственное чистое соотношение в равной темперации.

Помимо этого, есть еще кое-что, с растянутыми настройками и тому подобным. На безладовом струнном инструменте возможна только интонация. С ладами вы можете получить только интервалы между струнами, но вы застряли с равной темперацией между ладами. Просто интонация требует настройки вашего инструмента на определенную тональность. При стандартной равной темперации вы можете играть дальше по грифу в другой тональности и не получать разные интервалы качества звука между нотами.

Музыка ситара в большей степени связана с мерцающим цветом, создаваемым всеми гулами, а не с прыжками между нотами, поэтому просто интонация более важна. Также нет ничего неуместного в том, чтобы потратить час, чтобы настроиться на рагу. Играть рокабилли в пабе было бы неуместно.

У каждого свое место. Возможно, вы могли бы сыграть какой-нибудь красивый шугейзинговый рок, используя только интонацию, но только если вы найдете группу, готовую потратить на это много времени и оборудования.

Пифагорейские пропорции сами по себе являются миром изучения и, вероятно, огромным отвлечением на пути к приобретению полезных общих навыков композиции/игры в западном мире.

Пара поправок. Пифагор писал о квинтах 3:2 и строил из них гаммы. Он не изобретал эту идею, как и не изобретал материал о треугольниках. Он учился в Египте, где те же самые теории написаны на папирусных документах за 2000 лет до Пифагора и, скорее всего, предшествуют имеющимся у нас документам.

Бах не изобретал равномерную темперацию и не писал 48 прелюдий и фуг для равной темперации. Он написал их для Well-Temperament.

Итак, темперации — это те, в которых а) встречается цикл квинт б) бемоли и диезы совпадают, так что на октаву приходится только 12 нот в) все клавиши играбельны г) некоторые тональности чище других д) каждая клавиша имеет свой собственный набор интервалы и характер

Существует множество способов расстановки запятых таким образом, чтобы выполнялись эти условия, наиболее известным из которых является способ Андреаса Веркмайстера, а самый последний, вызвавший некоторое волнение, - способ Лемана, основанный на каракулях, написанных на рукописях Баха.

Темпераменты жизненно важны при рассмотрении полифонической музыки и гармонии. Для монофонической музыки гораздо лучше подходит чистая настройка интервалов. Индийская музыка никогда не должна использовать ET или любую другую темперацию.

Я постараюсь максимально упростить это. Ответы здесь либо не отвечают на фундаментальные вопросы, делают квантовые скачки в предположениях, чрезвычайно многословны, выносят грубые субъективные суждения, либо просто совершенно неверны.

Итак, небольшой учебник по физике. Все музыкальные инструменты (в том числе и ваш голос) представляют собой своего рода стоячую волну (например, волна на струне для гитары или воздух для флейты и т.д.). Все стоячие волны колеблются на определенных частотах, называемых обертонами (это не обмен физическими данными, поэтому вы можете углубиться в то, что такое обертоны, на https://en.wikipedia.org/wiki/Overtone ). Однако здесь важно знать, что существует основная частота f для данной стоячей волны, а обертоны кратны этой основной частоте.

Просто интонация – это интонационная схема, в которой ноты располагаются в долях этих обертонов. Например, октава — это отношение между первым обертоном и основным тоном (2f/f = 2). Точно так же совершенная квинта представляет собой соотношение между вторым обертоном и первым обертоном (т.е. 3f/2f = 1,5). Затем коэффициенты умножаются на фундаментальные и сортируются в порядке возрастания.

Причина, по которой это делается, состоит в том, чтобы соответствовать точкам «созвучия» в заданный фиксированный промежуток времени. Например, если основная частота составляет 10 Гц, чистая квинта — 15 Гц, и каждые 3 секунды формы волны конструктивно мешают друг другу. В отличие от октавы 20 Гц, она конструктивно мешает каждые 2 секунды. Вот почему мы находим октаву более «согласной», чем чистую квинту. (Обратите внимание, что это субъективная интерпретация, но по анекдотичным случаям я нахожу, что люди соотносят консонанс с частотой конструктивной интерференции сигналов в стоячих волнах).

Теперь, хотя это наиболее оптимальное расположение «согласных» нот для данного основного тона, есть большая проблема. Это эффективно фиксирует фундамент. Например, если основной является нота A4 (440 Гц), то вы можете использовать B в качестве тоники (если вы это сделаете, то соотношения между нотами больше не будут следовать соотношениям целых чисел). Вы можете построить просто интонированную шкалу с частотами и попробовать изменить тональность основного тона, чтобы понять, что это действительно так.

По мере того как западная музыка становилась все более сложной, возникла необходимость

1. Воспроизведение музыки в нескольких тональностях без смены инструментов, например, в форме аллегро сонаты на фортепиано.

2. Играйте аккорды вне основной гармонии гаммы.

Просто интонированная система просто не работала ни в одном из сценариев. Таким образом, производители инструментов пытались исправить интонации, настраивая значения частоты для определенных нот.

Наиболее элегантное из специальных преобразований привело к этой формуле

f (n) / f (n - 1) = 2 ^ (1/12)

где f(k) — частота k-й ноты. Это равнотемперированная интонация.

Этот компромисс сделал отношения как можно более близкими к долям одной интонации и в то же время сохранил тонику гаммы инвариантной (например, совершенная квинта равной темперации имеет отношение к тонике 2 ^ 7/12 = 1,4983 ... что составляет почти как 1.5).

Это сразу решило проблемы западной музыки того времени и было чрезвычайно близко к справедливой интонационной шкале, чтобы иметь ту же степень созвучия.

PS

1. Насколько я знаю, не существует рецензируемой литературы, в которой бы A/B-тесты были одинаковыми и просто интонировали идентичные музыкальные произведения для больших групп населения. Следовательно, нет никаких доказательств его «неподлинности» в каком-либо осязаемом смысле.

2. В ICM существует огромное количество инструментов одинаковой темперации. Ярким примером является фисгармония. Его популярность предполагает, что интонация не является самым важным требованием музыкальной системы.