Задача о законе Гаусса

Question

Задача о законе Гаусса

пользователь101134

Я читал об электрическом поле в электростатическом, и электрическое поле имеет свойство, которое $\nabla \times \mathbf E = 0$ , и $\nabla \cdot \mathbf E = \frac{\rho}{ε}$ .

Но вторую формулу мы получили из теоремы о дивергенции Гаусса и где мы имеем дело с объемом.

Из закона Гаусса

\oint Е \cdot д С "=" \frac{Вопрос}{ε}

$\oint \mathbf E\cdot \mathrm d\mathbf S= \frac{Q}{ε}$

И если

Вопрос "=" р ∭ д В

$Q = \rho\iiint \mathrm dV$

ρ

$\rho$ = объемная плотность заряда

Итак, из теоремы о расходимости Гаусса

\oint Е \cdot д С "=" ∭ (\nabla \cdot Е) д В "=" ∭ \frac{р}{ε} д В

$\oint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S = \iiint (\nabla\cdot \mathbf E )\mathrm dV = \iiint \frac{\rho}{ε} \mathrm dV$

Так $\nabla \cdot \mathbf E = \frac{\rho}{ε}$ Отсюда получаем соотношение.

Но здесь мы имеем дело с объемной плотностью заряда ( $\rho$ ).

Но если есть линейный заряд, то мы должны иметь дело с плотностью линейного заряда ( $\lambda$ ).

Мой вопрос: будет ли это соотношение верным и для линейного заряда? Потому что я не могу получить это отношение из электрического поля для любого линейного заряда, скажем, для заряженной круговой петли.

Для заряда круговой петли электрического поля на высоте $z$ от его центра находится

Е "=" \frac{λ}{2 ε} \frac{г р}{(г^{2} + р^{2})^{3 / 2}}

$E = \frac{\lambda}{2ε} \frac{zR}{(z^2+R^2)^{3/2}}$
{

R =

$R=$ радиус}

Если я посчитаю $\nabla \cdot \mathbf E$ , я не могу получить $\frac{\lambda}{ε}$

Так справедливо ли соотношение для линейной платы?

Прасад Мани

Нет.

\nabla \cdot \vec{E}

$\nabla \cdot \vec{E}$ "="

\frac{ρ}{ϵ}

$\frac{\rho}{\epsilon}$ — это хорошо зарекомендовавшее себя уравнение Максвелла, которое было выведено для электростатических полей с использованием теоремы Гаусса о дивергенции. Вы не можете просто заменить объемную плотность заряда линейной плотностью заряда.

λ

$\lambda$ .......тем более размеры тоже не совпадут при подмене

λ

$\lambda$ на месте

ρ

$\rho$

Лелуш

Если вы работаете строго в двух измерениях, то такая замена может быть сделана, что по сути является преобразованием от R ^ 3 к R ^ 2. Однако здесь вы не можете взять расхождение по трем переменным и по-прежнему использовать линейную плотность заряда.

пользователь4552

Пожалуйста, используйте стандартные заглавные буквы и знаки препинания, а также размечайте математику с помощью mathjax.

Ответы (2)

Задача о законе Гаусса

Нет. $\nabla \cdot \vec{E}$ "=" $\frac{\rho}{\epsilon}$ — это хорошо зарекомендовавшее себя уравнение Максвелла, которое было выведено для электростатических полей с использованием теоремы Гаусса о дивергенции. Вы не можете просто заменить объемную плотность заряда линейной плотностью заряда. $\lambda$ .......тем более размеры тоже не совпадут при подмене $\lambda$ на месте $\rho$
Если вы работаете строго в двух измерениях, то такая замена может быть сделана, что по сути является преобразованием от R ^ 3 к R ^ 2. Однако здесь вы не можете взять расхождение по трем переменным и по-прежнему использовать линейную плотность заряда.
Пожалуйста, используйте стандартные заглавные буквы и знаки препинания, а также размечайте математику с помощью mathjax.

Филип · Answer 1

Я не полностью согласен с более ранним ответом: есть простой способ представить объемную плотность заряда в терминах плотности поверхностного и линейного заряда, чтобы мы могли использовать их в уравнениях Максвелла. Однако насколько это может быть полезно, можно спорить. По практическим причинам обычно проще использовать интегральную форму.

Рассмотрим бесконечную плоскость заряда с некоторой поверхностной плотностью заряда. $\sigma$ . Какой будет соответствующая объемная плотность заряда $\rho$ быть? Ну, весь заряд вынужден находиться, скажем, в $xy-$ плоскость, и мы можем использовать дельта-функцию Дирака, чтобы обеспечить это! Следовательно, для этой задачи (если пластина в $z=0$ )

р "=" о дельта (г) .

$\rho = \sigma \delta(z).$

Обратите внимание, что, поскольку дельта Дирака имеет размерность 1/длина, это уравнение также соответствует размерам. Закон Гаусса в дифференциальной форме тогда просто

\vec{\nabla} \cdot \vec{Е} "=" \frac{о дельта (г)}{ϵ_{0}}

$\vec{\nabla}\cdot\vec{E}= \frac{\sigma \delta(z)}{\epsilon_0}$

Это хорошее упражнение — использовать это определение и уравнение Пуассона, чтобы показать, что электрическое поле должно иметь неоднородность. $\sigma/\epsilon_0$ по обе стороны от пластины.

Точно так же мы можем определить объемную плотность заряда для провода (выровненного вдоль $z$ ось) как бы

р "=" λ дельта (Икс) дельта (у) "=" λ \frac{дельта (р)}{2 π р}, где р^{2} "=" {Икс}^{2} + у^{2} .

$\rho = \lambda \delta(x)\delta(y) = \lambda \frac{\delta(r)}{2\pi r}, \quad\quad \text{where } r^2 = x^2 + y^2.$

Логический вывод из этого состоит в том, чтобы понять, что «объемная плотность заряда» точечного заряда просто

р "=" д {дельта}^{3} (р) .

$\rho = q \delta^3(r).$

Подставив это в уравнение дивергенции, мы получим важный результат:

\vec{\nabla} \cdot (\frac{\hat{р}}{р^{2}}) "=" 4 π {дельта}^{3} (р) .

$\vec{\nabla}\cdot \left( \frac{\hat{r}}{r^2}\right) = 4\pi \delta^3(r).$

Таким образом, хотя решение простых задач может быть «полезным», вы, безусловно, можете извлечь много информации о поверхностном, линейном и точечном распределении заряда, записав их объемную плотность соответствующим образом!

Софиан · Answer 2

Софиан

Ответ - нет. Первое уравнение Максвелла в его локальной (или дифференциальной) форме справедливо только для объемной плотности заряда. Интегральная форма описывает поток электрического поля через замкнутую поверхность (что дает объем $v$ ). Этот поток выражается через полный заряд $Q$ в объеме $v$ .

Если есть задача, в которой у вас есть линейный или поверхностный заряд, вы обязательно должны использовать интегральную форму первого уравнения Максвелла, а не локальную.

пользователь101134

Тогда скажите мне, какой будет общая форма ∇.E для линейного распределения заряда и поверхностного распределения заряда??

Софиан

«Расхождение представляет собой объемную плотность исходящего потока векторного поля из бесконечно малого объема вокруг данной точки». -- из вики.

Софиан

и

\nabla \circ \vec{E} = lim_{Δ V \to 0} \frac{1}{Δ V} \oint_{S} \vec{E} \circ d \vec{S}

$\nabla\circ\vec{E}=\lim_{\Delta V\to0}\cfrac{1}{\Delta V}\oint_S{\vec{E}\circ d\vec{S}}$ . Так что в геометрии использование дивергенции соответствует обдумыванию некоторого объема.

V

$V$ .

Софиан

Я думаю, что вы не можете определить

\nabla \circ \vec{E}

$\nabla\circ\vec{E}$ просто имея линейное или поверхностное распределение заряда, так как вам нужно продумать объем.

Винсент Фратичелли

Если вы хотите использовать поверхностные, линейные или точечные величины непосредственно в уравнениях Максвелла, вы должны использовать уравнения в смысле распределений. Это было модно во Франции в 1970-х годах. Вы можете взглянуть на en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathematics)

Задача о законе Гаусса

пользователь101134

Прасад Мани

Лелуш

пользователь4552

Ответы (2)

Филип

Софиан

пользователь101134

Софиан

Софиан

Софиан

Винсент Фратичелли

Разность потенциалов между точкой на поверхности и точкой на оси равномерно заряженного цилиндра

Электрическое поле однородно заряженной сферы с полостью [закрыто]

Как применить закон Гаусса к коаксиальным проводящим цилиндрам?

Электрическое поле бесконечной плиты

Заряд за пределами поверхности Гаусса не способствует потоку?

Где ошибка в выводе закона Гаусса в его дифференциальной форме?

Емкость трех пластин

Способ начисления платы за изображение [закрыто]

Сферические заряженные снаряды с заземлением

Электрическое поле в оболочке