Разве положение в пространстве-времени не образует четырехвектор?

Question

Разве положение в пространстве-времени не образует четырехвектор?

Иван Бурбано

Когда кто-то начинает изучать физику, векторы представляются как математические величины в пространстве, которые имеют направление и величину. Эта геометрическая точка зрения зашифровала в себе идею о том, что при изменении базиса компоненты вектора должны изменяться контравариантно, так что величина и направление остаются постоянными. Это ограничивает, какие физические идеи могут быть компонентами вектора (что гораздо лучше объясняется в лекциях Фейнмана), так что три произвольные функции не образуют честный вектор. $\vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z}$ в каком-то основании. Итак, в теории относительности вектор определяется «геометрически» как операторы производных по направлениям для функций на многообразии. $M$ и это означает, если $A^{\mu}$ являются компонентами вектора в системе координат $x^\mu$ , то компоненты вектора в системе координат $x^{\mu'}$ находятся

А^{{мю}^{'}} знак равно \frac{\partial {Икс}^{{мю}^{'}}}{\partial {Икс}^{мю}} А^{мю}

$A^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}A^\mu$ (это все из-за того, что операторы

\frac{\partial}{\partial x^{μ}} = \partial_{μ}

$\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\partial_\mu$ формируют основу для операторов производной по направлению, см. книгу Шона Кэрролла «Пространство-время и геометрия»)
Моя проблема заключается в том, что слишком много людей используют координаты

x^{μ}

$x^\mu$ как пример вектора, когда при произвольном преобразовании

{Икс}^{{мю}^{'}} \neq \frac{\partial {Икс}^{{мю}^{'}}}{\partial {Икс}^{мю}} {Икс}^{мю}

$x^{\mu'}\neq\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}x^\mu$ Я понимаю, что это уравнение верно, если преобразование между двумя координатами является линейным (как в случае преобразования Лоренца между декартовыми системами координат), но я думаю, что оно не может быть верным в общем случае. Я прав в том, что позиция не образует четырехвектор? Если нет, можете ли вы сказать мне, почему мои рассуждения ошибочны?

Прахар

Где ты видел

x^{μ}

$x^\mu$ рассматривается как вектор?

Иван Бурбано

См., например, Классическую механику Гольдштейна.

Шашаанк

@PraharMitra, но при переходе от декартовых координат к полярным (даже в SR) у нас есть матрица преобразования

\partial x^{μ^{'}} / \partial x^{μ}

$\partial x^{\mu' }/\partial x^{\mu}$ таким образом, координаты преобразуются как

x^{μ^{'}} = \partial x^{μ^{'}} / \partial x^{μ} x^{μ}

$x^{\mu'} = \partial x^{\mu'}/\partial x^{\mu }x^{\mu}$ . Я ошибаюсь

Прахар

@Shashaank, ты ошибаешься. Координаты так не трансформируются.

Шашаанк

@PraharMitra, разве у нас нет матрицы (матрица Якоба)

\partial x^{μ^{'}} / \partial x^{μ}

$\partial x^{\mu’}/ \partial x^{\mu}$ при смене координат с декартовых на полярные?

Прахар

У нас есть матрица Якоби. Он говорит нам, как трансформируются другие вещи (например, векторы и тензоры), но НЕ координаты.

Шашаанк

@PraharMitra да, теперь я вижу. Используем матрицу Якоби

\partial x^{μ^{'}} / \partial x^{μ}

$\partial x^{\mu’}/ \partial x^{\mu}$ для преобразования тензоров и векторов. Преобразование координат (

x = r c o s (θ)

$x=rcos(\theta)$ и т. д.) не будет следовать из этой матрицы. Но это заставляет меня спросить, можем ли мы представить нелинейное преобразование через матричное уравнение. Я знаю, что линейные преобразования, очевидно, могут быть выполнены. Но насколько я помню, я читал где-то здесь на этом сайте, что нелинейные преобразования даже не могут быть представлены матричным уравнением. Я не могу видеть это сразу. Можете ли вы сказать, почему или предложить источник, если ответы требуют длинных объяснений?

Прахар

@Shashaank, возможно, вы здесь что-то путаете. Координаты преобразуются нелинейно. Векторы и тензор преобразуются линейно, поэтому их преобразование можно описать с помощью матриц.

Шашаанк

@PraharMitra 1) как происходит линейное преобразование векторов? Я имею в виду, как вы это видите математически? 2) в общем контексте я спрашивал, почему я не могу представить нелинейное преобразование в терминах матричного уравнения?

Прахар

Продолжим обсуждение в чате .

Прахар

@Shashaank - Можем продолжить обсуждение в чате

Ответы (4)

Разве положение в пространстве-времени не образует четырехвектор?

Где ты видел $x^\mu$ рассматривается как вектор?
См., например, Классическую механику Гольдштейна.
@PraharMitra, но при переходе от декартовых координат к полярным (даже в SR) у нас есть матрица преобразования $\partial x^{\mu' }/\partial x^{\mu}$ таким образом, координаты преобразуются как $x^{\mu'} = \partial x^{\mu'}/\partial x^{\mu }x^{\mu}$ . Я ошибаюсь
@Shashaank, ты ошибаешься. Координаты так не трансформируются.
@PraharMitra, разве у нас нет матрицы (матрица Якоба) $\partial x^{\mu’}/ \partial x^{\mu}$ при смене координат с декартовых на полярные?
У нас есть матрица Якоби. Он говорит нам, как трансформируются другие вещи (например, векторы и тензоры), но НЕ координаты.
@PraharMitra да, теперь я вижу. Используем матрицу Якоби $\partial x^{\mu’}/ \partial x^{\mu}$ для преобразования тензоров и векторов. Преобразование координат ( $x=rcos(\theta)$ и т. д.) не будет следовать из этой матрицы. Но это заставляет меня спросить, можем ли мы представить нелинейное преобразование через матричное уравнение. Я знаю, что линейные преобразования, очевидно, могут быть выполнены. Но насколько я помню, я читал где-то здесь на этом сайте, что нелинейные преобразования даже не могут быть представлены матричным уравнением. Я не могу видеть это сразу. Можете ли вы сказать, почему или предложить источник, если ответы требуют длинных объяснений?
@Shashaank, возможно, вы здесь что-то путаете. Координаты преобразуются нелинейно. Векторы и тензор преобразуются линейно, поэтому их преобразование можно описать с помощью матриц.
@PraharMitra 1) как происходит линейное преобразование векторов? Я имею в виду, как вы это видите математически? 2) в общем контексте я спрашивал, почему я не могу представить нелинейное преобразование в терминах матричного уравнения?
@Shashaank - Можем продолжить обсуждение в чате

Бенце Рашко · Answer 1

Бенце Рашко

Ты прав.

Позиция — это вектор, когда вы работаете в векторном пространстве, так как это векторное пространство. Даже в этом случае, если вы используете нелинейную систему координат, координаты точки, выраженные в этой системе координат, не будут вести себя как вектор, поскольку нелинейная система координат в основном является нелинейной картой из векторного пространства в $\mathbb{R}^n$ , а нелинейные карты не сохраняют линейную структуру.

На многообразии нет смысла пытаться «векторизовать» точки. Точка — это точка, элемент многообразия, вектор — это вектор, элемент касательного пространства в точке. Конечно, вы можете отображать точки в $n$ -кортежей, что является частью определения топологического многообразия, но нет причин, по которым инверсия этого отображения должна переносить линейную структуру на многообразие.

А теперь чисто личное мнение: хотя книга Кэрролла действительно хороша, попытка физика классифицировать все по «свойствам трансформации» крайне контрпродуктивна и приводит к таким недоразумениям, которые вы здесь преодолели. Если кто-то изучает правильную теорию многообразия, это ясно с самого начала...

смягченный

Кратко и точно, +1! :)

пользователь541686

@GennaroTedesco: это называется "кратко" :P

CuriousOne

Проголосуйте за ваш отличный ответ, но я хотел бы отметить, что физики в целом не принимают положение за вектор. Мы провели пару столетий, споря между собой об относительности Галилея, и даже способный учитель физики средней школы может объяснить разницу между картой точек (метками) и физическими векторами, которые живут в касательном пространстве, даже не прибегая к формальному определению коллекторы. К сожалению, не каждый учитель способен, и не каждый ученик улавливает тонкости. OTOH, студенты, которые не получат пользы от лекции о римановых многообразиях, тоже не получат пользы.

Селена Рутли

@CuriousOne Ваше последнее предложение интересное. Совершенно верно, что если ученику трудно понять разницу, то, возможно, он не готов к римановой геометрии. С другой стороны, плохой учитель подобен плохому партнеру по рисованию в Pictionary: он способен направить даже самых способных учеников по ложному пути.

Селена Рутли

@Mehrdad Верно, но звучит фраза Дженнаро тоже довольно круто!

CuriousOne

@WetSavannaAnimalakaRodVance: Аминь.

Шашаанк

Если

x^{μ}

$x^\mu$ не являются векторами, почему Кэролл говорит, что координаты преобразуются как контравариантные векторы. И почему мы повышаем и понижаем индексы на них, как на векторах?

Бенце Рашко

@Shashaank У меня сейчас нет книги передо мной, но, предположительно, Кэрролл говорит это в главе специальной теории относительности, где это правда (то есть для пространства-времени Минковского). Это неверно для общих многообразий.

Шашаанк

@BenceRacskó так будет и в GR

x^{μ}

$x^\mu$ ( куда

x^{μ}

$x^\mu$ является координатой) не преобразуется по правилу

x^{μ^{'}} = \frac{\partial x^{μ^{'}}}{\partial x^{ν}} x^{ν}

$x^{\mu' }= \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\nu}x^\nu$ ( каково правило преобразования контравариантных векторов? А также когда мы поднимаем и индексируем на

g^{a b} x_{b} = x^{a}

$g^{ab}x_b=x^a$ , это будет работать только тогда, когда

x

$x$ не обозначает координату, а является фактическим векторным полем? Верно ли то, что я сказал выше, особенно первый пункт? Дайте мне знать, что вы думаете.

Прахар

@Shashaank, ты прав. В GR координаты НЕ трансформируются так. Вы также не можете поднимать и опускать индексы на координатах.

Шашаанк

@PraharMitra да, я запутался, потому что мы снижаем индексы на

d x^{μ}

$dx^\mu$ и $\dot{x}^\{mu}, но один из них является базисным ковектором (одна форма), а другой - контравариантным вектором скорости. Это правильно?

Селена Рутли · Answer 2

Отличное рассуждение: как в фантастическом ответе Ульдрета, но я бы добавил еще одну вещь, которая может помочь закрепить ваше хорошее понимание.

Координаты абсолютно не являются векторами, это метки на картах, и они являются векторами не в большей степени, чем ваш почтовый адрес является вектором. Почти наверняка причина, по которой люди делают вывод о том, что вы правильно идентифицировали как неверный, заключается в следующем: в плоском пространстве ( т . е. евклидовом пространстве, пространстве Минковского или вообще сигнатурном пространстве) аффинные координаты позиций могут играть две роли: они оба являются метками и (когда-то один выбрал начало координат) веса суперпозиции, которые объединяют касательные к линейному базисук евклидову (Минковского ...) многообразию линейно, чтобы получить общую касательную к многообразию. Если подумать, то, что я только что сказал, — это несколько иной взгляд на второй абзац Ульдрета, начинающийся словами «Позиция — это вектор…».

Стоит сказать, что я определенно помню следующую последовательность обучения в подростковом возрасте. Когда я пошел в старшую школу примерно в 11 лет, мне впервые показали координаты (конечно, декартовы) в качестве меток . Подозреваю, что так их знакомят со всеми детьми. Я отчетливо помню идею о том, что всего два года спустя было введено понятие (работающее только для декартовых и вообще аффинных координат) координаты точки как вектора положения . До этого у меня было очень четкое представление о векторе как о смещении или связи между двумя точками .точки, идея, которая через соответствующий предел приводит к касательной идее в общем многообразии. Читая ваш вопрос, я смеюсь, когда вспоминаю, как учитель подразумевал, что вторая роль координат как векторов положения была «новым и продвинутым» способом смотреть на векторы, тогда как, наоборот, это способ думать, что вы правильно понимается как очень ограниченный и работоспособный только в аффинном случае.

Зеленая фасоль · Answer 3

Вот простой способ увидеть, что кортежи координат не являются 4-векторами.

Начните в инерциальной системе координат в плоском пространстве-времени. Измените систему координат с постоянным переводом:
$x' = x + A$
$y' = y$
$z' = z$
$t' = t$

Даже в этом идеалистическом случае 4-векторы и кортежи координат преобразуются по-разному. Компоненты 4-векторов в этом случае вообще не меняются, в отличие от кортежей координат.

И это позволяет увидеть еще один момент: линейное преобразование, изменяющее исходную точку, разрушает идею «вектора положения», но можно еще сохранить понятие «вектор смещения». Если преобразование нелинейное, оно также теряется.

Абхиманью Паллави Судхир · Answer 4

Правильно -- векторы общей теории относительности живут в некотором касательном пространстве. В этом суть дифференциальной геометрии и исчисления в целом — вы аппроксимируете нелинейные вещи, которые не являются векторными пространствами (например, криволинейными многообразиями), линейными вещами (такими как их касательные пространства), которые являются векторными пространствами. Это именно мотивация для определения базисных векторов как $\partial_\mu$ , как вы описываете.

Разве положение в пространстве-времени не образует четырехвектор?

Иван Бурбано

Прахар

Иван Бурбано

Шашаанк

Прахар

Шашаанк

Прахар

Шашаанк

Прахар

Шашаанк

Прахар

Прахар

Ответы (4)

Бенце Рашко

смягченный

пользователь541686

CuriousOne

Селена Рутли

Селена Рутли

CuriousOne

Шашаанк

Бенце Рашко

Шашаанк

Прахар

Шашаанк

Селена Рутли

Зеленая фасоль

шипучий натуральный

Абхиманью Паллави Судхир

Вопрос о многообразиях и преобразованиях координат

Интерпретация нормальных координат

О символе Кристоффеля и векторных полях

6 независимых уравнений поля Эйнштейна?

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Получите векторный градиент в сферических координатах из первых принципов

Метрика Шварцшильда: изменение координат соответствует изменению объекта?

Покажите, что два семейства кривых ортогональны (без использования ортогональных траекторий).

Локально-плоские координаты и символы Кристоффеля

Многообразие для Шварцшильда и Бертотти-Робинсона