Многообразие для Шварцшильда и Бертотти-Робинсона

Question

Многообразие для Шварцшильда и Бертотти-Робинсона

финнлим

Вкратце: о каком многообразии идет речь для метрики Шварцшильда

д с^{2} "=" - (1 - \frac{2 М}{р}) д т^{2} + \frac{1}{1 - \frac{2 М}{р}} д р^{2} + р^{2} (д θ^{2} + {грех}^{2} θ д ф^{2})

$ds^2 = -(1-\frac {2M}r)dt^2 + \frac1{1-\frac{2M}r} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$ и метрика Бертотти-Робинсона (см. Thorne and Blandford, «Applications of Classical Physics» http://www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2011/1025.1.K.pdf , упражнение 24.2)

д с^{2} "=" {Вопрос}^{2} (- д т^{2} + {грех}^{2} т д г^{2} + д θ^{2} + {грех}^{2} θ д ф^{2})

$ds^2 = Q^2(-dt^2 + \sin^2 t dz^2 + d\theta^2 + \sin ^2 \theta d\phi^2)$

(где $Q=$ константа, $0\leq t \leq \pi, -\infty < z < +\infty, 0\leq \theta \leq \pi, , 0\leq \phi \leq 2\pi$ )?

Больше описания:

Кажется, что часто в общей теории относительности пространство-время обсуждается исключительно путем описания их метрических тензоров, а не рассматриваемого многообразия. Это очень хлопотно для меня, так как, насколько я знаю, многообразие должно быть определено до описания на нем метрического тензора. Например, если говорить о метрическом тензоре сферы $ds^2 = r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$ прежде чем определить, что такое сфера, было бы неоднозначно понять, что именно $\theta$ и $\phi$ означает (если только не исходить из контекста, что в данном случае несколько работает, потому что $\theta,\phi$ обычно означает угол)

Поэтому, когда я увидел, что метрика Шварцшильда и метрика Бертотти-Робинсона внезапно появились без какого-либо описания того, о каком многообразии мы говорим, я был очень сбит с толку (и до сих пор нахожусь, так как не смог найти никакого плодотворного ответа на этот мой вопрос).

Я предполагаю, что Шварцшильд, судя по контексту, $r$ "радиус", $\theta,\phi$ являются «углами», поэтому «очевидно верно», что метрика Шварцшильда определена на многообразии $\mathbb R^4$ снабженный сферическими полярными координатами для пространственной части. Для Бертотти-Робинсона я предполагаю, что $z,\theta,\phi$ вместе описывают несколько альтернативную сферическую полярную координату, где $z$ есть высота и так далее, и, таким образом, Бертотти-Робинсон также определен на $\mathbb R^4$ .

Любопытный Разум

Локально любое многообразие

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ , и ОТО почти всегда спокойно предполагает, что эти локальные участки достаточно велики, чтобы нам не приходилось переключаться между ними при выполнении физики.

финнлим

Значит ли это, что в теоретических условиях многообразие в обсуждении обычно

R^{4}

$\mathbb R^4$ ?

финнлим

Кроме того, я хотел бы узнать следующую важную дополнительную деталь: я нашел утверждение, что пространство-время Бертотти-Робинсона сферически симметрично. Как это можно увидеть? Единственный способ, который я могу придумать, это показать, что любой элемент в

S O (3)

$SO(3)$ индуцирует изометрию Бертотти-Робинсона. Однако мне не удалось найти какой-либо общей явной формулы вращения в сферических координатах. Поэтому я невежественен в попытке продемонстрировать это.

Золото

На этих заметках есть некоторые подробности по этому поводу arxiv.org/abs/1403.2371 , предлагаю вам взглянуть.

Ответы (1)

Многообразие для Шварцшильда и Бертотти-Робинсона

Локально любое многообразие $\mathbb{R}^4$ , и ОТО почти всегда спокойно предполагает, что эти локальные участки достаточно велики, чтобы нам не приходилось переключаться между ними при выполнении физики.
Значит ли это, что в теоретических условиях многообразие в обсуждении обычно $\mathbb R^4$ ?
Кроме того, я хотел бы узнать следующую важную дополнительную деталь: я нашел утверждение, что пространство-время Бертотти-Робинсона сферически симметрично. Как это можно увидеть? Единственный способ, который я могу придумать, это показать, что любой элемент в $SO(3)$ индуцирует изометрию Бертотти-Робинсона. Однако мне не удалось найти какой-либо общей явной формулы вращения в сферических координатах. Поэтому я невежественен в попытке продемонстрировать это.
На этих заметках есть некоторые подробности по этому поводу arxiv.org/abs/1403.2371 , предлагаю вам взглянуть.

Слереа · Answer 1

Есть много многообразий, которые допускают метрику Шварцшильда, но стандартным многообразием для ее обсуждения является максимально расширенное решение Шварцшильда, которое $\mathbb R^2 \times S^2$ . Самый простой способ убедиться в этом — выбрать координаты Крускала, которые охватывают все многообразие.

д с^{2} "=" \frac{32 М^{3}}{р} е^{- р / 2 М} (- д Т^{2} + д {Икс}^{2}) + р^{2} д {Ом}^{2}

$ds^{2} = \frac{32M^3}{r}e^{-r/2M}(-dT^2 + dX^2) + r^2 d\Omega^2$

с координатами $(T,X,\theta,\varphi)$ , с угловыми координатами, описывающими 2-сферу, а $(T,X)$ действительно описывают область, гомеоморфную $\mathbb R^2$ . Поскольку у нас есть

Икс е р, Т^{2} - {Икс}^{2} е (- \infty, 1)

$X \in \mathbb R,\ T^2 - X^2 \in (-\infty, 1)$

и

\frac{р}{2 г М} "=" 1 + {Вт}_{0} (\frac{{Икс}^{2} - Т^{2}}{е})

$\frac {r}{2GM}=1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\right)$

с $W_0$ функции Ламберта, это означает, что аргумент функции Ламберта находится в диапазоне $(-e^{-1}, \infty)$ , так что $r \in (0, \infty)$ метрика никогда не упирается ни в какую особенность (значения $T^2 - X^2 = 1$ соответствующие реальным особенностям метрики).

Получив максимально расширенное решение Шварцшильда, вы можете определить из него множество других многообразий, будь то подмножества или частные. Внешнее решение Шварцшильда по-прежнему имеет ту же топологию: это просто ограничение на квадрант $(T,X)$ , а в координатах Шварцшильда легко увидеть, что это просто $\mathbb R^4$ со сферой, удаленной от каждой поверхности Коши, что также равно $\mathbb R^2 \times S^2$ . То же самое относится и к внутреннему решению Шварцшильда, или координатному участку Шварцшильда-Эддингтона-Финкельштейна.

Существуют более странные топологии для решения Шварцшильда, такие как эллиптическое решение Шварцшильда, которое соответствует частному путем отождествления решения черной дыры и белой дыры (которое не является причинно-следственным или ориентированным во времени), которое, я думаю, имеет топологию. $\mathbb R \times S \times S^2$

Многообразие для Шварцшильда и Бертотти-Робинсона

финнлим

Любопытный Разум

финнлим

финнлим

Золото

Ответы (1)

Слереа

Метрика Шварцшильда: изменение координат соответствует изменению объекта?

Координаты Крускала-Секереша и сингулярность

Как можно измерить координаты Шварцшильда?

Символы Кристоффеля в координатах Крускала-Секереша [закрыто]

Является ли очевидное отсутствие кривизны (Риччи) в метрике Шварцшильда следствием выбора координат?

Как зафиксировать локально декартовы координаты на поверхности сферы?

Координата ttt находится внутри черной дыры

Интерпретация нормальных координат

Безмассовая черная дыра Керра

О символе Кристоффеля и векторных полях