Регуляризация эффекта Казимира

Question

Регуляризация эффекта Казимира

Физика
эффект казимира
регуляризация
исследовательский уровень
перенормировка
квантовая теория поля

Скварк

Для начала позвольте мне сказать, что, хотя эффект Казимира — это стандартный материал для учебников, единственный доступный мне учебник по КТП — это Вайнберг, и он не обсуждает его. Так что единственный источник, который у меня сейчас есть по этому вопросу, — это Википедия . Тем не менее я подозреваю, что этот вопрос уместен, поскольку я не помню, чтобы он обсуждался в других учебниках.

Наивно вычисление давления Казимира приводит к бесконечным суммам и поэтому требует регуляризации. Можно использовать несколько регуляторов, которые дают один и тот же ответ: дзета-функцию, тепловое ядро, гауссову функцию и, возможно, другие. Вопрос в том:

Какова математическая причина, по которой все регулирующие органы дают один и тот же ответ?

С физической точки зрения это означает, что эффект нечувствителен к детальной физике УФ-отсечки, которая в реальной ситуации связана со свойствами используемых проводников. В Википедии упоминается, что для некоторых более сложных геометрий эффект чувствителен к отсечке, так почему же для классического примера с параллельными плоскостями это не так?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Аарон предоставил замечательного реферала Терри Тао, относящегося к этой проблеме. Из этого текста видно, что расходящаяся сумма энергии вакуума может быть разложена на конечную и бесконечную части, причем конечная часть не зависит от выбора регулятора. Тем не менее, бесконечныйчасть зависит от выбора регулятора (см. уравнение 15 в тексте Тао). Теперь у нас есть еще один параметр в задаче: расстояние между плоскостями проводников L. Что нам нужно показать, так это то, что бесконечная часть не зависит от L. Это все еще кажется чудом, поскольку это должно происходить для всех регуляторов. Более того, если я не запутался, это не работает для игрушечного примера безмассового скаляра в 2D. Для этого примера все члены в сумме энергии вакуума пропорциональны 1/L, следовательно, бесконечная часть асимптотики суммы также пропорциональна 1/L. Итак, у нас есть «чудо», которое происходит только для определенных геометрий и размеров.

ЛКТ

Я думаю, что ответ на вопрос заключается в том, что для перенормируемых теорий ответ должен быть независимым от регуляризации (после того, как вы уберете отсечку/регуляризацию).

Ответы (5)

Регуляризация эффекта Казимира

Я думаю, что ответ на вопрос заключается в том, что для перенормируемых теорий ответ должен быть независимым от регуляризации (после того, как вы уберете отсечку/регуляризацию).

Аарон · Answer 1

Посмотрите блестящий пост Терри Тао о регуляризации дзета-функции здесь (я никогда не понимал предмета, пока не прочитал этот пост). Короткий ответ заключается в том, что все они вычисляют одно и то же, (должным образом определяемую) асимптотику расходящейся суммы.

Спасибо, Аарон, отличный реф! Я думаю, что что-то все еще неясно. Я собираюсь отредактировать вопрос соответственно
Дао великолепен, но это просто неправильный ответ на исходный вопрос. Текст Тао в значительной степени чисто математический и не содержит никакого физического (КТП, перенормировка) анализа ситуации, а именно констант связи, контрчленов или регуляторов, симметрий, ограничивающих законы физики, если таковые имеются, а также зависимости или независимости физических наблюдаемых от них. вещи. Таким образом, 1.

Давид Бар Моше · Answer 2

Хотя я не знаю, существует ли общее доказательство, я думаю, что эффект Казимира перенормируемой квантовой теории поля должен быть полностью понят с помощью теории перенормировок на многообразиях с краем. Ключевой особенностью является то, что, вообще говоря, нельзя пренебрегать перенормировкой констант связи в граничных членах. Используя эту стратегию, Бондаг и Василевич заметили, что перенормировка члена поверхностного натяжения (полное действие, включая поверхностные члены, дано в уравнении 44) дает контрчлен, который аннулирует расходящийся член в энергии Казимира диэлектрического шара, который не может быть сокращен. вычитанием энергии нулевой точки (как было указано теми же авторами вместе с Кирстен в предыдущей работе). В более поздней работе авторы проверили, что модель, включающая поверхностные члены, перенормируема в одном цикле.

Хороший физический ответ, +1, в отличие от просто дешевого создания URL-адресов обожаемых обладателей медалей Филдса, которые, несмотря на свое величие, практически не дают ответа на исходный вопрос, а именно, что можно настроить в параметрах, описывающих эти физические ситуации. (пластины против других геометрий).
Нужно понимать, что любое граничное условие (например, E=0) является решением связанных уравнений зарядов и полей. Таким образом, эффект Казимира — это взаимодействие зарядов в КТП, а не просто «эффект вакуумного поля».

Доминик Эльс · Answer 3

(Этот аргумент относится к одномерной системе, но аналогичные аргументы могут быть приведены и в более высоких измерениях. Мы работаем в единицах с $c = \hbar = e = 1$ ).

Предположим, у нас есть некоторая процедура регулятора, параметризованная порогом импульса $\Lambda$ . Тогда для расстояния $L$ между двумя параллельными пластинами, мы можем разложить регуляризованную сумму энергии по степеням обрезания как

Е знак равно а_{л} Λ^{2} + б_{л} Λ + с_{л} + О (\frac{1}{Λ}) .

$E = a_L \Lambda^2 + b_L \Lambda + c_L + O\left(\frac{1}{\Lambda}\right).$ Мы можем вывести зависимость

a_{L}

$a_L$ а также

b_{L}

$b_L$ размерным анализом. Первые два члена возникают из-за вклада в сумму очень высоких энергий. Следовательно, они не могут зависеть от таких вещей, как, скажем, масса электрона, которой можно пренебречь при высоких энергиях; единственная доступная шкала энергии - 1/L. Таким образом, единственная зависимость, допускаемая размерным анализом, имеет вид

a_{L} = α L, b_{L} = β

$a_L = \alpha L, b_L = \beta$ для некоторых безразмерных констант

α

$\alpha$ а также

β

$\beta$ . Итак, мы получаем

Е знак равно α л Λ^{2} + β Λ + с_{л} + О (\frac{1}{Λ}) .

$E = \alpha L \Lambda^2 + \beta \Lambda + c_L + O\left(\frac{1}{\Lambda}\right).$ Ясно, что второе слагаемое выпадет при вычислении силы

d E / d L

$dE/dL$ . А первый срок? Обратите внимание, что с обеих сторон любой пластины всегда есть вакуум . Если мы переместим тарелку на

d x

$dx$ , то первый член дает увеличение энергии вакуума слева на

α Λ^{2} d x

$\alpha \Lambda^2 dx$ , но это также дает уменьшение энергии вакуума справа на ту же величину. Следовательно, пока мы вычисляем производную от полной энергии вакуума, первое слагаемое также выпадает.

Это показывает, что (в пределе большой отсечки, так что $O(1/\Lambda)$ термины исчезают) сила исходит исключительно от $c_L$ , что на самом деле не зависит от обрезания! Можно было бы надеяться, что этот термин фактически не зависит от всех деталей регулирующего органа; сообщение Теренса Тао (упомянутое уже в ответе Аарона) доказывает это в особом случае, то есть в свободном безмассовом бозоне.

пользователь 213887 · Answer 4

Вы вполне могли бы задать тот же вопрос о любом расчете в квантовой механике: почему разные регуляторы для формально различных величин дают один и тот же результат? Ответ заключается в том, что если предположить, что эти регуляторы не нарушают важные симметрии, влияющие на наши измерения (например, лоренц-инвариантность), тогда регуляторы только связываются с физикой в УФ-диапазоне, а физику в ИК-диапазоне оставляют прежней. Если нас интересует физика низких энергий, то все различные регуляторы оставят интересующие нас величины нетронутыми и изменят только несущественные детали высоких энергий. Это не чудо! См. также обсуждение в: Какие методы перенормировки доступны для 3+1 КЭД?

В оригинальной статье Казимира он представил вывод, который показывает, что любой «разумный» выбор регулятора даст тот же результат. По сути, это то, что Терри Тао рассказывает в своем блоге, но его сообщение довольно подробное, и, возможно, более удобоваримая презентация может быть полезной! Это выглядит так:

В одномерном ящике частоты квантуются до частот плоских волн, $\omega_n=\tfrac{\pi}{\ell}n$ куда $\ell$ это размер коробки. Тогда давайте определим

\begin{aligned} Е (ℓ) знак равно \sum_{н} \frac{1}{2} ю_{н} \end{aligned}

$\begin{align} E(\ell)=\sum_n\frac{1}{2}\omega_n \end{align}$ сумма нулевых энергий этих мод. Давайте теперь изменим эту сумму с помощью (в основном) произвольного регулятора,

\begin{aligned} Е (ℓ) знак равно \frac{π}{2} \sum_{н} \frac{н}{ℓ} ф (\frac{н}{ℓ Λ}) \end{aligned}

$\begin{align} E(\ell)=\frac{\pi}{2}\sum_n\frac{n}{\ell}\ f\ \left(\frac{n}{\ell\Lambda}\right) \end{align}$ где мы просто умножили каждый член суммы на

f (\frac{n}{ℓ Λ})

$f(\frac{n}{\ell\Lambda})$ . Мы предполагаем только, что эта функция

f (x)

$f(x)$ умирает быстрее, чем

x^{- 1}

$x^{-1}$ , и что

f (0) = 1

$f(0)=1$ . Первое требование заключается просто в том, чтобы регулятор отключал режимы только при высоких энергиях — УФ-частоты проходят насквозь коробку. Второе требование состоит как раз в том, что регулятор не должен влиять на спектр в ИК.

Теперь представим, что у нас есть пара мест, разделенных расстоянием $a$ , внутри большей коробки размера $L$ , показано ниже $^1$ :

Если мы уйдем $L$ фиксированные и варьируются $a$ , сила на стенках наших плит на расстоянии $a$ является $-dE/da$ . Энергия $L-a$ сторона коробки есть

\begin{aligned} Е (л - а) знак равно \frac{π}{2} \sum_{н} \frac{н}{(л - а)} ф (\frac{н}{(л - а) Λ}) \end{aligned}

$\begin{align} E(L-a)=\frac{\pi}{2}\sum_n\frac{n}{(L-a)}\ f\ \left(\frac{n}{(L-a)\Lambda}\right) \end{align}$

и если мы возьмем континуальный предел $L\rightarrow\infty$ , мы получаем

\begin{aligned} Е (л - а) \to \frac{π}{2} (л - а) Λ^{2} \int Икс ф (Икс) г Икс \end{aligned}

$\begin{align} E(L-a)\rightarrow\frac{\pi}{2}(L-a)\Lambda^2\int xf(x) dx \end{align}$ Теперь, добавляя дискретную сумму между пластинами к континуальной сумме снаружи пластин, мы получаем

\begin{aligned} Е_{т о т а л} знак равно Е (а) + Е (л - а) знак равно \frac{π}{2} л Λ^{2} \int Икс ф (Икс) г Икс + \frac{π}{2 а} (\sum_{н} н ф (\frac{н}{а Λ}) - \int н ф (\frac{н}{а Λ}) г н) \end{aligned}

$\begin{align} E_{total}=E(a)+E(L-a)=\frac{\pi}{2}L\Lambda^2\int x\ f(x) dx+\frac{\pi}{2a}\left(\sum_n\ n\ f\left(\frac{n}{a\Lambda}\right)-\int \ n\ f\left(\frac{n}{a\Lambda}\right) dn\right) \end{align}$ Разница между суммой функции и ее интегралом определяется формулой Эйлера-Маклорена:

\begin{aligned} \sum_{н знак равно 1}^{Н} ф (н) - \int_{0}^{Н} ф (н) г н знак равно \frac{ф (0) + ф (Н)}{2} + \frac{ф^{'} (0) - ф (0)}{12} + . . . Б_{Дж} \frac{ф^{(Дж - 1)} (0) + ф^{(Дж - 1)} (Н)}{Дж!} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n=1}^Nf(n)-\int_0^Nf(n)dn=\frac{f(0)+f(N)}{2}+\frac{f'(0)-f(0)}{12}+...B_j\frac{f^{(j-1)}(0)+f^{(j-1)}(N)}{j!} \end{align}$ куда

B_{j}

$B_j$ являются числами Бернулли.

Хорошо, теперь нас интересуют только те части этого выражения, которые зависят от $a$ , так как мы собираемся дифференцировать по $a$ . Выделение этих терминов,

\begin{aligned} Е_{т о т а л} знак равно - \frac{π ф (0)}{24 а} - \frac{Б_{4}}{4!} \frac{3 π}{2 а^{3} Λ^{2}} ф^{^{″}} (0) + . . . \end{aligned}

$\begin{align} E_{total}=-\frac{\pi f(0)}{24a}-\frac{B_4}{4!}\frac{3\pi}{2a^3\Lambda^2}f^{''}(0)+... \end{align}$ где

. . .

$...$ члены подавляются возрастающими степенями

Λ

$\Lambda$ . Если

Λ

$\Lambda$ берется большим, отбрасываем все, кроме первого слагаемого; напоминая, что мы требовали

f (0) = 1

$f(0)=1$ тогда мы получим силу Казимира

\begin{aligned} Ф знак равно - \frac{г Е}{г а} знак равно - \frac{π}{24 а^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} F=-\frac{dE}{da}=-\frac{\pi}{24a^2} \end{align}$

Теперь людям часто непонятно, почему, например, эзотерические манипуляции, такие как дзета-регуляризация, дают правильный ответ. Приведенный выше аргумент демистифицирует, почему хорошие регуляторы являются хорошими регуляторами: вы можете расширить разницу между фактической суммой, суммированной до отсечки, и дзета-суммой (или любой другой суммой — возможно, суммой теплового ядра), используя Эйлера-Маклорена, и показать, что существует универсальная часть, которая не затронута выбором отсечки. Плохие вещи могут произойти только в том случае, если регуляторы нарушат симметрию.

Вы беспокоитесь, что с другой геометрией или размерами это не работает, но это работает! Пока регулятор не нарушает симметрию геометрии, все в порядке. не понятно что у тебя $2d$ скалярный пример, который вы имеете в виду, но если это задача типа Казимира, то бесконечная часть точно не будет зависеть от расстояния между пластинами, так что у нас все в порядке. Более ранний и интересный ответ указывает на то, что иногда, если пластины имеют странную границу, регулятору нужно сделать больше, чем просто «вычесть энергию нулевой точки» - суть в том, что вам нужно возиться с физикой УФ только в некотором роде. соблюдая симметрию границы.

$^1$ _{Изображение (и вывод) бесстыдно украдено из учебника QFT Мэтта Шварца.}

Как это объясняет дзета-регуляризацию? $\left|ω_{0}\right|^{-s}$ не равно 1!

Андре · Answer 5

Величины, которые мы можем измерить в лаборатории, конечны. У нас есть математические модели, которые при наивном использовании дают бесконечные значения величин, которые мы можем измерить. Считайте эти бесконечные значения артефактами конкретной математической модели/инструмента/метода вычислений. Если можно идентифицировать способы, которыми конкретный тип бесконечности последовательно возникает в математической модели/методе, то можно отслеживать его и «вычитать, если нет» (т. е. перенормировать его) согласованным образом.

Если для определенного способа вычислений бесконечности возникают случайным образом ... тогда нет никакого способа удалить их математически последовательным образом, и вы не слышали об этом конкретном способе.

каждую бесконечность можно математически упорядочить :) другой вопрос, признает ли это физик.

Регуляризация эффекта Казимира

Скварк

ЛКТ

Ответы (5)

Аарон

Скварк

Любош Мотл

Давид Бар Моше

Любош Мотл

Владимир Калитвянский

Доминик Эльс

пользователь 213887

Qмеханик

Матрица001

Андре

Хосе Хавьер Гарсия

Суперполя и несостоятельность регуляризации уменьшением размерности

Перенормировка ИК и УФ расходимостей

Значения параметров СМ в одном определенном масштабе

Перенормировка — инструмент удаления бесконечностей или инструмент получения физических результатов?

Вопрос о бесконечной сумме в квантовом поле

Имеет ли значение угловая мера при размерной регуляризации?

Почему для уравнения Каллана-Симанзика важны только логарифмические расхождения? Интуитивное понимание?

Теория континуума из теории решеток

Расходящаяся серия

Бесконечность ходовых муфт