Решение уравнения Максвелла: как нет свободного заряда, но есть свободный ток?

Свободный ток действительно создается свободными зарядами, но нулевая плотность заряда не соответствует отсутствию свободных зарядов.

Всякий раз, когда у вас одинаковые положительные и отрицательные плотности свободного заряда, плотность свободного заряда равна нулю. Положительные и отрицательные свободные заряды могут двигаться независимо друг от друга таким образом, что общая плотность заряда везде равна нулю (представьте себе проволочную петлю с электронами, движущимися по петле с постоянной дрейфовой скоростью). При этом они создают свободный ток, даже когда плотность свободного заряда равна нулю.

Я некоторое время думал над вашим вопросом и вполне уверен, что нашел решение загадки. Имейте в виду, что, как и вы, я «новый студент», поэтому я предостерегаю вас относиться к следующему с недоверием. Я надеюсь, что более опытный пользователь сможет (не) подтвердить приведенные ниже аргументы.

Сначала рассмотрим проблему с физической точки зрения. Я думаю, вас больше интересует математика, но, возможно, немного физической интуиции поможет подготовить почву для последней части.

Совершенно ясно, почему у вас действительно может быть плотность тока без плотности заряда: если первая является макроскопической плотностью, то значение$\rho$в точке будет полный заряд, заключенный в небольшом объеме вокруг этой точки, объеме, не превышающем разрешающую способность используемых измерительных устройств, но который все же может содержать очень много частиц (вы можете назвать этот объем " бесконечно малый»). В частности, такой общий заряд может быть$0$(например, в нашем бесконечно малом объеме содержится равное количество электронов и протонов), но частицы могут по-прежнему входить в бесконечно малый объем и выходить из него, производя таким образом ток без изменения общего заряда, пока количество, например, входящие и исходящие электроны одинаковы.

В проводе это вполне может иметь место, так как в нем обычно одинаковое количество электронов и протонов, и электроны, которые движутся, создавая ток, обычно нигде не «скапливаются».

Но давайте перейдем к математике. Как определяется плотность тока? Для его определения введем четыре вспомогательные функции:

1. Плотность отрицательного заряда$\rho^-$. Это функция пространства и времени, которая дает общее количество отрицательного заряда, содержащегося в бесконечно малом объеме в данный момент:$\rho^-=\frac{dQ_{neg}}{dV}$. Путем интегрирования этой функции по некоторому объему получается общий отрицательный заряд в этом объеме.
2. Плотность положительного заряда$\rho^+$. То же, что и выше, с соответствующими изменениями .
3. Поле отрицательной скорости$\bf v^-$: снова функция пространства и времени, дающая$velocity$отрицательного заряда , переносимого в данную точку и момент времени. Возможно, вы можете подумать о${\bf v}(x,y,z,t)$как средняя скорость в момент$t$отрицательно заряженных частиц, содержащихся в бесконечно малом объеме, окружающем точку$(x,y,z)$.
4. Поле положительных скоростей$\bf v^+$. То же, что и выше, опять же с соответствующими изменениями.

Должно быть ясно, что полная плотность заряда$\rho$дан кем-то$\rho^-+\rho^+$. Теперь определим плотность тока как${\bf J}=\rho^-{\bf v^-}+\rho^+{\bf v^+}$. Ток через любую поверхность определяется, как обычно, потоком$\bf J$через эту поверхность.

Здесь вы можете видеть, что$\rho=\rho^-+\rho^+$вполне может быть$0$, но$\bf J$не обязательно$0$также. Следовательно, у вас может не быть чистого заряда в любом месте, но при этом иметь ток (плотность). Возвращаясь к случаю с нейтральным проводом, очевидно, что, когда протоны неподвижны, а электроны движутся , положительное поле скоростей равно нулю, и только «отрицательные» члены объясняют ток.