Останавливающий ток и соответствие уравнению Максвелла

Question

Останавливающий ток и соответствие уравнению Максвелла

заряжать
Физика
уравнения Максвелла
классическая электродинамика

Дж. Дамфарт

Преамбула: Математически дивергенция вихревого поля равна нулю, поэтому для магнитного поля

\nabla \cdot \nabla \times Б "=" 0

$\nabla\cdot\nabla\times\boldsymbol B = \boldsymbol 0$ и из

\nabla \times B

$\nabla\times\boldsymbol B$ уравнение Максвелла

\nabla \cdot (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) "=" 0 .

$\nabla\cdot \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) = 0 \ .$ Интеграл вышеперечисленного по любому объему равен

0

$0$ . Так же как и замкнутый поверхностный интеграл (теорема об интегрировании Гаусса) аргумента дивергенции, т.е.

\forall A

$\forall A$

\oint_{А} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С "=" 0

$\oint_A \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = 0$

Мой мысленный эксперимент: В качестве замкнутой поверхности я выбираю сферу $A$ с центром в начале координат. Я разделил сферу на левую часть $L$ и правая часть $R$ , обе открытые поверхности с $A = L \cup R$ . Поверхности $L$ и $R$ имеют такую же ориентацию, что

\int_{л} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С "=" \int_{р} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С

$\begin{equation} \int_L \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = \int_R \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ следует из

\oint_{л \cup р} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С "=" 0 .

$\oint_{L \cup R} \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = 0 \ .$ Теперь я принимаю все текущие

J

$\boldsymbol J$ втекающий в сферу исходит из

L

$L$ -стороне, а затем останавливается внутри (симметрично вокруг начала координат), вызывая накопление заряда и ненулевое

\partial E / \partial t

$\partial \boldsymbol E / \partial t$ .

Моя проблема: из-за вышеизложенного $\partial \boldsymbol E / \partial t$ должен быть радиально-симметричным, поэтому

\int_{л} \frac{\partial Е}{\partial т} \cdot г С "=" \int_{р} \frac{\partial Е}{\partial т} \cdot г С

$\begin{equation} \int_L \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S = \int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$

РЕДАКТИРОВАТЬ
С моей декларацией $L$ и $R$ ориентация, это должно быть
$\int_{л} \frac{\partial Е}{\partial т} \cdot г С "=" - \int_{р} \frac{\partial Е}{\partial т} \cdot г С$ $\begin{equation} \int_L \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S = -\int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ что было моей ошибкой и, оглядываясь назад, делает остальную часть вопроса недействительной!

/РЕДАКТИРОВАТЬ

равны, и то, что осталось для выполнения предыдущего уравнения потока, равно

\int_{л} Дж \cdot г С "=" \int_{р} Дж \cdot г С .

$\begin{equation} \int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S = \int_R \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S \ . \end{equation}$ Но явно у нас

\begin{aligned} \int_{л} Дж \cdot г С & \neq 0 \\ \int_{р} Дж \cdot г С & "=" 0 . \end{aligned}

$\begin{align} \int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S & \neq 0 \\ \int_R \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S & = 0 \ . \end{align}$

Так где же мой недостаток? Какой части недостает для сохранения уравнений? Является ли это наивным соображением, и мне нужно использовать полный набор уравнений Максвелла и рассмотреть электромагнитную волну, испускаемую замедлением заряда, что дает другие источники $\partial \boldsymbol E / \partial t$ ? Или включить причину останавливающего тока в термины электрического поля?

QuantumBrick

Если

J

$J$ течет, то я верю

\int_{R} \vec{J} \cdot d \vec{S} \neq 0

$\int_R \vec{J} \cdot d\vec{S} \neq 0$ . Если заряд накапливается, он должен каким-то образом добраться до нужной стороны.

По симметрии

Почему

\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

$\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ должны быть радиально-симметричными?

Дж. Дамфарт

@QuantimBrick Если я предполагаю, что весь ток остановится внутри, через правую сторону не будет потока.

QuantumBrick

@GDumphart Да, есть. Если материал аккумулирует ток (а так оно и есть, поскольку вы вводите в него ток с левой стороны), то из-за того, что это аккумулирование симметрично, он должен течь и в правую сторону.

Дж. Дамфарт

@BySymmetry Я требовал, чтобы заряды останавливались симметрично вокруг источника и близко к нему. Или теоретически точно в начале координат, если хотите.

Дж. Дамфарт

@QuantumBrick Если я вас правильно понял, то вы предполагаете, что это предположение об устойчивом токе.

\nabla \cdot J = 0

$\nabla \cdot \boldsymbol J = 0$ от магнитостатики. Там поток плотности тока через все открытые поверхности с общей границей был бы, как вы говорите, одинаковым. Для случая электродинамики

\nabla \cdot J = - \partial ρ / \partial t

$\nabla \cdot \boldsymbol J = -\partial \rho/\partial t$ , это предположение неверно, и ток смещения Максвелла присоединяется к партии, и мой вопрос из этой области.

QuantumBrick

Это не то, что я говорил, я думаю. Но я считаю, что на вопрос был дан ответ.

По симметрии

@QuantumBrick Да, но у вас ток идет в одну сторону, а не в другую, поэтому ситуация все еще не симметрична.

Ответы (1)

Останавливающий ток и соответствие уравнению Максвелла

Если $J$ течет, то я верю $\int_R \vec{J} \cdot d\vec{S} \neq 0$ . Если заряд накапливается, он должен каким-то образом добраться до нужной стороны.
Почему $\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ должны быть радиально-симметричными?
@QuantimBrick Если я предполагаю, что весь ток остановится внутри, через правую сторону не будет потока.
@GDumphart Да, есть. Если материал аккумулирует ток (а так оно и есть, поскольку вы вводите в него ток с левой стороны), то из-за того, что это аккумулирование симметрично, он должен течь и в правую сторону.
@BySymmetry Я требовал, чтобы заряды останавливались симметрично вокруг источника и близко к нему. Или теоретически точно в начале координат, если хотите.
@QuantumBrick Если я вас правильно понял, то вы предполагаете, что это предположение об устойчивом токе. $\nabla \cdot \boldsymbol J = 0$ от магнитостатики. Там поток плотности тока через все открытые поверхности с общей границей был бы, как вы говорите, одинаковым. Для случая электродинамики $\nabla \cdot \boldsymbol J = -\partial \rho/\partial t$ , это предположение неверно, и ток смещения Максвелла присоединяется к партии, и мой вопрос из этой области.
Это не то, что я говорил, я думаю. Но я считаю, что на вопрос был дан ответ.
@QuantumBrick Да, но у вас ток идет в одну сторону, а не в другую, поэтому ситуация все еще не симметрична.

Матеус Сампайо · Answer 1

По вашему разделу $A=L\cup R$ , у нас есть это

\begin{matrix} \oint_{А} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С "=" 0 & ⟹ \\ \int_{л} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С + \int_{р} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С "=" 0 & ⟹ \\ \int_{л} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С "=" - \int_{р} (Дж + ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т}) \cdot г С \end{matrix}

$\begin{gather}&\oint_A \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = 0 &\implies\\ &\int_L \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S + \int_R \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S =0&\implies\\ &\int_L \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S = -\int_R \left( \boldsymbol J + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \right) \cdot d\boldsymbol S \end{gather}$ поэтому потоки не равны, они противоположны . Итак, хотя

\int_{л} \frac{\partial Е}{\partial т} г С "=" \int_{р} \frac{\partial Е}{\partial т} \cdot г С

$\begin{equation} \int_L \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} d\boldsymbol S = \int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ выполняется, это не противоречит

\int_{л} Дж \cdot г С \neq \int_{р} Дж \cdot г С

$\begin{equation} \int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S \neq \int_R \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S \end{equation}$ У нас есть только это

\begin{matrix} \int_{л} Дж \cdot г С + \int_{л} ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т} г С "=" - \int_{р} \frac{\partial Е}{\partial т} \cdot г С & ⟹ \\ \int_{л} Дж \cdot г С "=" - \int_{А} ε_{0} \frac{\partial Е}{\partial т} г С \end{matrix}

$\begin{gather}&\int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S+\int_L \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} d\boldsymbol S=-\int_R \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot d\boldsymbol S&\implies\\ &\int_L \boldsymbol J \cdot d\boldsymbol S=-\int_A \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} d\boldsymbol S\end{gather}$

Вы пропустили или неправильно поняли мою декларацию $L$ и $R$ ориентация, когда они не соединены (не беспокойтесь, без эскиза это сложно). Я взял эту схему отсюда: users.ox.ac.uk/~math0391/EMlectures.pdf — самое начало главы 3, уравнение (3.2). Но вы совершенно правы насчет того, что я делаю дурацкую табличку "бу-бу", которая решает мою проблему. Спасибо за ваш ответ!
Я предполагал, что это может быть так, но думал, что здесь больше шансов ошибиться, чем в радиально-симметричном утверждении, что левый и правый потоки равны.
Совершенно верно, я недостаточно подчеркнул свое ненужное предположение.

Останавливающий ток и соответствие уравнению Максвелла

Дж. Дамфарт

QuantumBrick

По симметрии

Дж. Дамфарт

QuantumBrick

Дж. Дамфарт

Дж. Дамфарт

QuantumBrick

По симметрии

Ответы (1)

Матеус Сампайо

Дж. Дамфарт

Матеус Сампайо

Дж. Дамфарт

Как вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана?

Квазиклассическая модель атома

Зачем работникам высоковольтных линий электропередач костюм в клетке Фарадея?

Как ЭДС индукции может принимать отрицательные значения в законе индукции Фарадея?

Проблема с теорией Максвелла

Первая теорема Нётер и классическое доказательство сохранения электрического заряда

Уравнения Максвелла - недоопределенные - единственность

Константы интегрирования в уравнениях Максвелла (неоднозначность?)

Решение уравнения Максвелла: как нет свободного заряда, но есть свободный ток?

Как меняется распределение заряда со временем? (в классической электродинамике)