Прочитав руководство по общей теории относительности для неспециалистов, я начал задаваться вопросом, какую форму примет шар для боулинга на большом резиновом листе. Для простоты я хотел бы предположить, что закон Гука применим к каучуку.
Вот что я сделал до сих пор:
Одномерный случай — это масса подвешен посередине на резиновой ленте длиной и жесткость пружины . В этом случае полоса будет иметь V-образную форму, где угол посередине (между полосой и горизонталью) ограничен , а натяжение связано с величиной растяжения по закону Гука, что дает .
Однако я не уверен, как действовать в двумерном случае. Можно ли рассматривать резиновый лист как бесконечно тонкую сетку резиновых лент? Интуитивно, на некотором расстоянии с точки зрения массы кажется, что масса должна в равной степени поддерживаться материалом в круге радиуса , поэтому у нас было бы . Однако это означает, что как , у нас есть , что не является физическим (я думаю, что напряжение должно быть постоянным везде в листе.)
Как правильно смоделировать форму резинового листа с точечной массой на нем?
Обобщение закона Гука на два измерения требует введения коэффициента Пуассона : когда вы растягиваете материал в одном направлении, он имеет тенденцию сжиматься в перпендикулярных направлениях. Таким образом, радиальное натяжение от веса мяча вызовет окружное сжатие, которое создаст окружное натяжение для его компенсации.
Таким образом, в любой точке вашего резинового листа будет натяжение в двух перпендикулярных направлениях, а поскольку результирующая поверхность будет вращаться, любая форма, отличная от горизонтальной плоскости, будет иметь по крайней мере одну ненулевую кривизну. Кривизна плюс натяжение означает силу, перпендикулярную поверхности, если только основные кривизны вашей поверхности не имеют противоположных знаков, и в сочетании с соответствующим напряжением они компенсируют друг друга.
Если вместо резинового листа у вас была мыльная пленка, это приводит к хорошо известной минимальной поверхности вращения, катеноиду . Но у резинового листа средняя кривизна не будет точно равна нулю, и, следовательно, форма будет отличаться от этой, хотя и с тем же общим аспектом: радиально он должен изгибаться от оси вращения, чтобы компенсировать окружную кривизну.
Я, вероятно, только добавил больше путаницы, но форма в двух измерениях точно не будет конусом.
Гравитация не подчиняется закону Гука, а является обратным степенным законом (точнее, обратным квадратом). Аналогия с резиновым листом предназначена только для того, чтобы показать искривленную природу пространства. Резиновый лист будет, как вы предложили, с прямым уклоном.
пользователь10851