Симметрии в КМ и КТП --- операторные законы преобразования

Question

Симметрии в КМ и КТП --- операторные законы преобразования

gj255

В квантовой механике мы реализуем преобразования операторами $U$ которые отображают состояние $|\psi\rangle$ государству $U|\psi\rangle$ . В качестве альтернативы мы могли бы передать действие $U$ на наших операторов:

О \mapsto U^{†} О U

$O\mapsto U^\dagger OU$ Эти операторы

U

$U$ должно представлять собой представление интересующей группы преобразования. Тогда мы задаем вопрос: какое представление мы выберем? Я узнал, что мы закрепляем матрицы

U

$U$ этого мы желаем, попросив, чтобы оператор положения или собственное состояние положения преобразовывались соответствующим геометрическим образом: если

R

$R$ — некоторая матрица вращения в 3D, то мы желаем, чтобы

U (р)^{†} \vec{Икс} U (р) "=" р \vec{Икс}

$U(R)^\dagger \vec{x} U(R) = R\vec{x}$

У меня несколько вопросов по этой процедуре:

1) Часто утверждают, что $U$ унитарна, так как «должны сохраняться вероятности». Но из моих исследований ясно, что операторы, представляющие бусты Лоренца, не являются унитарными. Как примирить эти два факта?

2) В связи с этим мы говорим, что преобразование является симметрией системы, если гамильтониан сохраняется при преобразовании. Для меня это имеет смысл, поскольку именно гамильтониан определяет систему; если гамильтониан неизменен, то старые решения уравнения Шрёдингера остаются решениями. Однако ясно, что какой бы оператор преобразования ни реализовывал буст Галилея (в нерелятивистской КМ) или буст Лоренца (в релятивистской КТП), он не оставит гамильтониан неизменным. Однако это не означает, что повышения не являются симметриями нашей системы. Что тут происходит? Почему именно $U^\dagger H U = H$ условие для $U$ быть «симметрией»?

3) Требование, чтобы операторы $U$ удовлетворять свойству (выбирая перевод для конкретности)

U^{†} \vec{Икс} U "=" \vec{Икс} + \vec{а}

$U^\dagger \vec{x} U = \vec{x} + \vec{a}$ не говорит нам сразу, как преобразование повлияет на другие операторы, такие как операторы импульса или углового момента. В случае перевода

a

$a$ , мы находим, что

U "=" опыт (- я \frac{\vec{а} \cdot \vec{п}}{ℏ})

$U = \exp\left( -i\frac{\vec{a}\cdot\vec{p}}{\hbar}\right)$ удовлетворяет приведенному выше уравнению (работает бесконечно мало). Затем это говорит нам, что

U^{†} \vec{p} U = \vec{p}

$U^\dagger \vec{p} U = \vec{p}$ . Это то, что мы хотим --- переводы в пространстве не влияют на импульс. Но мы не сказали нашим операторам

U

$U$ что они должны удовлетворять этому свойству, поэтому тот факт, что они удовлетворяют, кажется чем-то вроде совпадения. То есть, требуя только того, чтобы сопряжение оператора положения с

U (R)

$U(R)$ вращается, кажется, что каждый векторный оператор вращается при сопряжении с

U (R)

$U(R)$ . Есть ли в этом что-то фундаментальное?

4) В QFT мы хотим реализовать лоренцевы бусты с операторами

С "=" опыт (- я \frac{ю_{мю ν} М^{мю ν}}{2 ℏ})

$S = \exp \left( -i\frac{\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar}\right)$ где

δ_{ν}^{μ} + ω^{μ}_{ν}

$\delta^\mu_\nu + \omega^\mu{}_\nu$ представляет собой инфинитезимальное преобразование Лоренца, которое мы представляем. Теперь для

T

$T$ представляющий другое, не обязательно бесконечно малое, преобразование Лоренца

Λ

$\Lambda$ , у нас есть

Т^{- 1} С Т "=" Т^{- 1} (1 - я \frac{ю_{мю ν} М^{мю ν}}{2 ℏ}) Т

$T^{-1} S T = T^{-1} \left(1 - i\frac{\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar} \right) T$ Но условие, что матрицы

S

$S$ и

T

$T$ должно представлять собой представление группы Лоренца, следует, что комбинация в левой части должна равняться

опыт (- я \frac{{Ом}_{мю ν} М^{мю ν}}{2 ℏ})

$\exp \left( -i\frac{\Omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar}\right)$ где

Ω_{μ ν}

$\Omega_{\mu \nu}$ определяет составное преобразование:

{дельта}_{ν}^{мю} + {Ом}^{мю}_{ν} \equiv (Λ^{- 1})^{мю}_{р} ({дельта}_{о}^{р} + ю^{р}_{о}) Λ^{о}_{ν}

$\delta^\mu_\nu + \Omega^\mu{}_\nu \equiv (\Lambda^{-1})^\mu{}_\rho(\delta^\rho_\sigma + \omega^\rho{}_\sigma)\Lambda^\sigma{}_\nu$ Сравнение этих уравнений дает

Т^{- 1} М^{мю ν} Т "=" Λ^{мю}_{р} Λ^{ν}_{о} М^{ν о}

$T^{-1} M^{\mu \nu} T = \Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma M^{\nu \sigma}$ используя повышающие и понижающие свойства метрики Минковского. Мой вопрос аналогичен вопросу в 3) --- объект

M^{μ ν}

$M^{\mu \nu}$ — это всего лишь набор из 6 операторов, и совсем не очевидно, что эти индексы должны быть тензорными индексами. И еще как-то ---просто попросив матрицы

S

$S$ составить представление --- нам удалось воспроизвести закон тензорного преобразования (правда, у нас есть

T^{- 1}

$T^{-1}$ здесь, а не

T^{†}

$T^\dagger$ --- это относится к моему первому вопросу). Другими словами, мы получили правильное геометрическое действие преобразования Лоренца на операторы

M^{μ ν}

$M^{\mu \nu}$ , хотя мы никогда не просили об этом!

Как вы понимаете, я очень смущен всей этой ситуацией. Я извиняюсь, если приведенное выше обсуждение звучит немного запутанно, и я был бы признателен за любую помощь, которая может быть оказана!

Любопытный Разум

Ваш первый вопрос дублирует Бусты неунитарны! . Также связана теорема Вигнера . Ваш третий вопрос какой-то бессмысленный — конечно, мы сказали оператору, что он должен оставить импульс нетронутым, потому что именно импульс генерирует пространственные перемещения! Я тоже не понимаю четвертого вопроса -

M^{μ ν}

$M^{\mu\nu}$ являются элементами алгебры Ли группы Лоренца, поэтому существует естественное присоединенное действие группы на ее алгебре

gj255

Относительно 4): элементы

T

$T$ лежат в представлении группы Лоренца, и

M^{μ ν}

$M^{\mu \nu}$ лежат в соответствующем представлении алгебры Ли. Следовательно, мы можем рассмотреть присоединенное действие группы на алгебре, и это посылает

M^{μ ν}

$M^{\mu \nu}$ к

T^{- 1} M^{μ ν} T

$T^{-1} M^{\mu \nu} T$ по определению. Чего я не понимаю, так это почему это равно правой части, которая представляет собой просто преобразование Лоренца, действующее на тензор ранга 2.

Ответы (1)

Симметрии в КМ и КТП --- операторные законы преобразования

Ваш первый вопрос дублирует Бусты неунитарны! . Также связана теорема Вигнера . Ваш третий вопрос какой-то бессмысленный — конечно, мы сказали оператору, что он должен оставить импульс нетронутым, потому что именно импульс генерирует пространственные перемещения! Я тоже не понимаю четвертого вопроса - $M^{\mu\nu}$ являются элементами алгебры Ли группы Лоренца, поэтому существует естественное присоединенное действие группы на ее алгебре
Относительно 4): элементы $T$ лежат в представлении группы Лоренца, и $M^{\mu \nu}$ лежат в соответствующем представлении алгебры Ли. Следовательно, мы можем рассмотреть присоединенное действие группы на алгебре, и это посылает $M^{\mu \nu}$ к $T^{-1} M^{\mu \nu} T$ по определению. Чего я не понимаю, так это почему это равно правой части, которая представляет собой просто преобразование Лоренца, действующее на тензор ранга 2.

Чарухас · Answer 1

Вот мой ответ на некоторые из ваших вопросов - он основан исключительно на моем понимании этих концепций и может быть неправильным.

(1) Всякий раз, когда преобразования Лоренца являются симметрией какой-либо квантовой системы, они обязательно должны быть представлены унитарными линейными преобразованиями на квантовом гильбертовом пространстве системы. Следовательно, операторы, представляющие лоренцевские повышения в релятивистской квантовой системе, унитарны, как указано в одной из ссылок, упомянутых в комментариях.

(2) Условие $U^{\dagger}HU = H$ вообще не может быть необходимым и достаточным условием для $U$ быть преобразованием симметрии в релятивистской квантовой механике. Один из способов увидеть это - рассмотреть одночастичное собственное состояние свободного поля Клейна-Гордона. $|p\rangle$ и заметьте, что при преобразовании Лоренца математическое ожидание $\langle p|H|p\rangle$ (что дает энергию этой частицы) должен преобразовываться подобно $0^{th}$ компонент четырехвектора энергии-импульса.

⟨ п | U^{†} (Λ) ЧАС U (Λ) | п ⟩ "=" {Λ^{0}}_{мю} ⟨ п | п^{мю} | п ⟩

$\langle p|U^{\dagger}(\Lambda)HU(\Lambda)|p\rangle = {\Lambda^{0}}_{\mu}\langle p|P^{\mu}|p\rangle$ и не оставаться инвариантным, как

U^{†} H U = H

$U^{\dagger}HU = H$ подразумевал бы. В то же время преобразование Лоренца является симметрией этой системы именно потому, что аналогичные законы преобразования справедливы для всех четырехимпульсных компонент, что эквивалентно скалярному

P_{μ} P^{μ}

$P_{\mu}P^{\mu}$ остающийся инвариантным относительно преобразования Лоренца.

Поэтому здесь следует отметить, что требование, чтобы преобразование было симметрией, в общем случае не переводится в коммутацию с гамильтонианом. Это происходит в частных случаях не зависящих от времени преобразований симметрии (например, пространственных трансляций и вращений в нерелятивистской КМ). Самый общий критерий состоит в том, что действие должно быть инвариантным (с точностью до константы) относительно рассматриваемого преобразования.

(3) Обратитесь к любому хорошему тексту по квантовой механике (например, Сакураи, Современная квантовая механика, главы 2 и 4), который должен ответить на ваш вопрос.

(4) Полученный здесь результат (о том, что образующие группы Лоренца должны преобразовываться подобно тензорам) не очень удивителен. Элементарный (хотя и не очень общий) аргумент здесь следующий: для любой наблюдаемой, являющейся классически тензором (как и 4-вектор импульса), должен существовать соответствующий самосопряженный оператор в квантово-механическом гильбертовом пространстве. Ожидаемое значение этого оператора относительно любого состояния должно обязательно преобразовываться, как и сам наблюдаемый тензор. Это следствие основной парадигмы квантовой механики (ожидаемые значения представляют собой физически измеримые величины). Поэтому надо иметь

Т^{- 1} С_{мю ν} Т "=" {Λ_{мю}}^{р} {Λ_{ν}}^{о} С_{р о}

$T^{−1}S_{μν}T={Λ_{μ}}^ρ {Λ_{ν}}^σ S_{\rho σ}$ вообще говоря, для любого тензорного оператора

S_{μ ν} .

$S_{\mu\nu}.$

PS: Как упоминалось в начале, этот ответ основан на моем понимании понятий «симметрия» и «лоренцевская ковариация» - разумеется, я был бы признателен за конструктивную критику.

Симметрии в КМ и КТП --- операторные законы преобразования

gj255

Любопытный Разум

gj255

Ответы (1)

Чарухас

Общий анализ внутренних симметрий в КТП

Путаница в двух определениях аномалий

SO(N)SO(N)SO(N) симметричная теория реальных скалярных полей NNN, почему заряды имеют правильные коммутационные соотношения образующих?

Фактор симметрии по теореме Вика

Почему нет аномалии, когда механика частиц квантована?

Коммутационные соотношения образующих конформной группы

Представляют ли оператор симметрии UUU и его генератор QQQ, действующие на вакуум |0⟩|0⟩|0\rangle, новый вырожденный вакуум?

Какова роль вакуумного среднего в нарушении симметрии и образовании массы?

Инвариантность меры функциональной интеграции

Бесследовость тензора энергии-импульса в d=2d=2d=2