Путаница в двух определениях аномалий

Поскольку в настоящее время я готовлюсь к экзамену по квантовой теории поля и теории струн, я запутался в понятии «аномалии» и в том, как они на самом деле определяются. Подобные вопросы уже задавались здесь и здесь , но данные ответы меня не очень удовлетворили.

Итак, давайте предположим, что у нас есть некоторая классическая симметрия, то есть симметрия действия. Два определения, которые я постоянно вижу, таковы:

  1. (обычно в текстах по теории струн) Симметрия называется аномальной, если она не может быть представлена ​​унитарно в гильбертовом пространстве (при любой регуляризации). Эквивалентно (?), если мы не можем найти рецепт упорядочения, при котором генераторы симметрии подчиняются правильной алгебре после квантования и остаются унитарными и имеют положительную энергию.
    Обратите внимание, что если симметрия по-прежнему является лучевой симметрией в гильбертовом пространстве (всегда ли это так?), мы все равно можем найти проективное представление. Если представление действительно проективно, есть два варианта (как описано, например, у Вайнберга): Либо, если группа симметрии не является односвязной, нам, возможно, придется вместо этого использовать покрывающую группу. Или, если алгебра не является полупростой, могут быть центральные заряды, которые нельзя заставить исчезнуть.
    Здесь всегда предполагается, что мера по-прежнему инвариантна и выполняются тождества Уорда. На самом деле, в теории струн тождества Уорда часто используются для вывода некоторых ОРЕ, а вместе с ними и для вывода квантовой алгебры Вирасоро.

    Примеры для этого:

    • Алгебра Витта в теории струн, которая получает центральное расширение при квантовании и становится алгеброй Вирасоро.
    • SO(3), действующий на нецелочисленный спин. SO(3) не является односвязным, и мы должны рассмотреть представления двойного покрытия SU(2).
    • Алгебра группы Галилея, действующая на нерелятивистские одночастичные состояния, имеет центральный заряд в соотношении [ К я , п Дж ] знак равно − я дельта я Дж м .
  2. (обычно в текстах КТП) Симметрия аномальна, если мы не можем найти процедуру регуляризации для меры интеграла по путям. Д Φ такой, что Д Φ знак равно Д Φ ′ .
    Тогда ясно, что тождества Уорда-Такахаши будут нарушены: уравнение ⟨ ∇ мю Дж мю ⟩ знак равно 0 (вдали от вставок) подбирает новые термины с правой стороны. Алгебра генераторов симметрии, по- видимому , не обязательно меняется.
    Примером этого является аномалия (глобальной) киральной симметрии в КЭД. Кстати, здесь у нас всего один генератор симметрии, так что мы все равно не можем получить нетривиальное центральное расширение алгебры.

На самом деле сейчас мне кажется, что это две совершенно разные вещи. В версии 1 у нас есть инвариантная мера и тождества Уорда, которые отсутствуют в версии 2. С другой стороны, в версии 2 у нас нет центральных зарядов или других модификаций алгебры (в отличие от версии 1).

Тем не менее, кажется, что между ними должна быть какая-то связь. Но, может быть, это только потому, что они называются одинаково. Итак, мой вопрос: связаны ли эти понятия? Может быть, даже одно и то же с разных точек зрения? (Например, я мог представить, что с точки зрения канонического квантования мы получаем аномалию в операторной алгебре, тогда как с точки зрения квантования интеграла по путям мы получаем аномалию в PI-мере.)

Ответы (1)

Эти два понятия действительно связаны. Возьмем, к примеру, аномалию Вейля в теории бозонных струн: классическое (Поляковское) действие С инвариантен относительно масштабирования Вейля метрики мирового листа γ а б , т.е.

С [ γ а б ( т , о ) ] знак равно С [ опыт ⁡ ( 2 ю ( т , о ) ) γ а б ( т , о ) ] знак равно С [ γ а б ′ ( т , о ) ] .
Поскольку это конформная симметрия, след тензора энергии-импульса должен исчезнуть: Т а а знак равно 0 . Квантование теории без указания количества измерений пространства-времени приведет к аномалии; Вейлевская инвариантность больше не является симметрией квантовой теории струн. Тензор энергии напряжений приобретет след, пропорциональный скаляру Риччи р соответствующей геометрии мирового листа, т.е. Т а а знак равно − с 12 р , куда с является центральным зарядом. Последняя равна нулю только в случае Д знак равно 26 , поэтому аномалия не появляется в так называемом критическом размере. (Обратите внимание, что он также исчезает, когда геометрия мирового листа плоская.) Существование центрального заряда индуцирует алгебру Вирасоро для мод тензора энергии-импульса, что согласуется с тем, что вы пишете.

Приведенные выше аргументы могут быть сделаны без ссылки на интеграл по путям и его меру; это точка зрения алгебры симметрии. Однако можно принять другой и спросить, что происходит с интегралом по траекториям. Оказывается, что при преобразовании Вейля вариация меры и остальной части интеграла состоит из вставок следа тензора энергии-импульса и обращается в нуль только при отсутствии конформной аномалии. Следовательно, эти две картины эквивалентны.

Спасибо за Ваш ответ! Как вы думаете, есть ли способ показать эквивалентность двух картин вообще (не только для аномалии Вейля)? Несколько дней назад мой коллега сказал мне, что это можно сделать с помощью условий непротиворечивости Весса-Зумино, но у меня еще не было времени разобраться в этом.
Если я правильно понимаю, центральная зарядка производит фазы по трансформации композиции и накладывает правила отбора. Нарушение этого правила отбора портит симметрию, и это переводится в формализм континуального интеграла как неинвариантность меры из-за дополнительного члена в действии, требующего регулятора, нарушающего симметрию? Значит ли это, что центральные заряды угрожают возможными аномалиями?
Путаница в двух определениях аномалий
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v