Симплектическая структура общей теории относительности

Вдохновленный физикой. СЭ: Увеличивается ли размерность фазового пространства по мере расширения Вселенной?

Это заставило меня задуматься о симплектических структурах в ОТО, в частности, есть ли что-то вроде формы Луивилля? В моем дилетантском понимании существование формулировки ADM по существу отвечает этому для общих случаев, но мне неясно, как границы меняют это. В частности, я знаю, что если есть внутренняя граница, то эволюция обычно не является гамильтоновой; с другой стороны, если внутренняя граница представляет собой изолированный горизонт, то она гамильтонова тогда и только тогда, когда выполняется первый закон термодинамики черной дыры (см. http://arxiv.org/abs/gr-qc/0407042 ).

Таким образом, более острая форма вопроса заключается в том, что происходит космологически?

(И, как обычно, для исследовательского уровня (?) вопрос: какие условия поиска можно использовать в Google, чтобы узнать больше об этом?)

В книге Уолда по ОТО есть раздел о гамильтоновом формализме в общей теории относительности. Это бесконечномерная система, поэтому нужно быть немного осторожным, говоря о симплектической структуре. Он, безусловно, имеет пуассоновскую структуру и имеет ограничения. Редукция Пуассона дает вам формально симплектическую структуру.
по теме: физика.stackexchange.com/q/ 75001

Ответы (1)

Заметим сначала, что фазовое пространство любой теории есть не что иное, как пространство всех ее классических решений. Традиционное представление фазовых пространств полями и их каноническими импульсами на поверхности Коши — это всего лишь способ параметризации всех решений начальными данными — если это возможно. Часто это возможно, но сопряжено со всеми недостатками, присущими выбору координат. Само фазовое пространство существует независимо от этих выборов и от того, существуют ли они вообще. Чтобы подчеркнуть этот момент, иногда говорят о ковариантном фазовом пространстве .

Это хорошо известно, даже если во многих учебниках это остается немного скрытым. Более подробную информацию и обширный и прокомментированный список ссылок по этому вопросу см. н Пространство фазы входа в лабораторию .

Затем заметьте, что фазовое пространство каждой теории поля, полученное из локального функционала действия (в том смысле, что это интеграл лагранжиана, зависящий только от конечного числа производных полей), канонически снабжено канонической формой Лиувилля и канонической предсимплектической форма. То, как это работает, также подробно обсуждается в фазовом пространстве . Хороший классический референс — Zuckerman , более неторопливое обсуждение — у Crncovic-Witten .

Эта каноническая предсимплектическая форма, существующая на фазовом пространстве каждой локальной теории, становится симплектической на редуцированном фазовом пространстве, которое получается в результате факторизации калибровочных симметрий. Это частное часто ведет себя очень плохо, но всегда прекрасно существует как « производное » частное, и как таковое моделируется комплексом BV-BRST (как обсуждалось там). Весь (лагранжев) механизм BV-BRST предназначен для создания канонической симплектической формы, существующей на редуцированном фазовом пространстве любого локального функционала действия.

Поскольку действие Эйнштейна-Гильберта и все его обычные варианты со связями материи и т. д. являются локальным функционалом действия, все это применимо к гравитации. Недавно Fredenhagen et al. тщательно обсудили ковариантное фазовое пространство гравитации (и его форму Лиувилля), см. ссылки, перечисленные здесь .

Из этого следует, что «размерность» ковариантного фазового пространства гравитации не зависит от «размера вселенной», и спрашивать об этом вообще не имеет смысла. Данная космология есть одна-единственная точка в этом фазовом пространстве (точнее, в редуцированном фазовом пространстве после факторизации симметрий).

Однако вам могут понадобиться некоторые усечения, эффективные приближения или грубая детализация до полной ковариантной гравитации. Для них история может быть другой.

Очень хороший ответ, хотя я не совсем следую алгебраическим построениям (я просто доверюсь математике!). Чтобы прояснить для меня физический вопрос, на этом языке: существует ли существование ковариантного фазового пространства для топологии с изолированным горизонтом в качестве внутренней границы благодаря четко определенной локальной теории Черна-Саймонса на этой границе (подробности находятся в ашкетарской газете в вопросе)? И что это не работает для других типов горизонтов, потому что нельзя построить локальную теорию поля как граничную теорию?
Хороший ответ, следует более широко оценить точку зрения о том, что фазовое пространство является ковариантным объектом.
Для справки, Аштекар не ленится, когда дело доходит до построения ковариантного фазового пространства симплектической структуры. Если вы посмотрите на список литературы на странице nLab, на которую ссылается Урс, вы увидите статьи Lee-Wald и Ashtekar-Bombelli-Reula, которые также часто используются в качестве стандартных ссылок по этой теме. Фактически, Ом В термин, который Аштекар записывает в разделе 7.2 цитируемой вами статьи, построен именно по этому методу. Я могу сказать больше о граничном термине Ом С , но сначала мне нужно рассмотреть его более подробно.
Я думаю, что самое интересное в физике заключено в последнем предложении: полное решение, выходящее за пределы космологического горизонта, определяет точку в этом слишком большом фазовом пространстве, пространстве всех эйнштейновских метрик, но первоначальный вопрос касался редукции фазового пространства для описания динамики космологического пятна. Это сокращение должно давать то, что по мере расширения Вселенной существует больше эффективных степеней свободы, а процесс сокращения загадочен. Я думаю, что суть вопроса такова: можете ли вы понять редукцию причинно-следственной связи?
Пограничный термин Ом С в статье Аштекара, похоже, имеет прямое отношение к граничному члену Черна-Саймонса, добавленному к действию ОТО при изучении «энтропии черной дыры». См . arxiv.org/abs/gr-qc/9710007 . Без необходимости обращать внимание на мотивацию этого дополнительного термина, формализм ковариантного фазового пространства, описанный Урсом, дает вам оба термина. Ом В а также Ом С .
Предупреждение: эти симплектические формы должны быть получены путем интегрирования по поверхности Коши. Однако пока поверхность М 1 на рис.6 gr-qc/0407042 - Коши, ни М ни М 2 таковы, потому что некоторые нерастяжимые времениподобные кривые могут пересекаться М 1 а также Δ , но ни одна из двух других поверхностей. Чтобы получить правильную симплектическую форму, интегрирование по М или же М 2 должны быть дополнены интегрированием по соответствующей направленной в прошлое части Δ . Это необходимо учитывать при расчете поверхностного члена. Ом С .
Наконец, нет ничего особенно таинственного в ограничении себя космологическим участком или любым другим участком пространства-времени. Учитывая любые многообразия Икс а также Д , пространство решений уравнений Эйнштейна, Г ( Икс ) или же Г ( Д ) , на любом из них бесконечномерна. Более того, диффеоморфизм Икс → Д естественно индуцирует карту Г ( Д ) → Г ( Икс ) , дифференциальным откатом. Можно подумать о Икс как меньше, чем Д и, следовательно Г ( Д ) знак равно Г ( Икс ) × (дополнительные степени свободы). Но Икс а также Д тоже можно было обменять. Это жизнь с diff-inv и inf-dim.
Спасибо, Игорь, что нашли время посмотреть статью. Возможно, вы могли бы или должны собрать эти комментарии и повторно опубликовать их в качестве ответа на вопрос.
@Igor: ограничение на причинный патч загадочно , и в этом вся суть вопроса. Этот ответ ни на что не отвечает, а комментарии говорят банальные/неправильные вещи на чрезмерно формальном языке. В частности: что вы имеете в виду, говоря, что «X и Y можно обменять»? Если X диффеоморфно подмножеству Y, то Y не диффеоморфно подмножеству X. Диффеоморфизм X в Y индуцирует очевидное отображение включения всех решений на Y во все решения на X, но не наоборот.
@RonMaimon, я не уверен, что сказать, кроме как указать на тривиальный факт, что интервал ( 0 , 1 ) диффеоморфен подынтервалу ( 1 / 3 , 2 / 3 ) себя. затем Икс знак равно Д знак равно ( 0 , 1 ) уже является контрпримером к вашему утверждению. Столь же легко построить более сложные и многомерные примеры. Возможно, мы могли бы также отложить суждения по сути вопроса до первоначального автора, который, кстати, отметил этот ответ как удовлетворительный.
@Igor: ОП был просто напуган всеми невероятно тривиальными, но такими математическими вещами, которые были сказаны, и решил, что ответ +11, за который проголосовали, должен быть в порядке и полным. Это не так. По сути, это говорит о том, что «фазовое пространство == пространство решений», черт возьми. В вашем комментарии я неправильно истолковал «диффеоморфный» как «изометрический», конечно, вы правы в том, что многообразия могут быть диффеоморфными своим подмногообразиям, поэтому я не люблю математический язык. Без базовой метрики вы не сможете найти горизонт или сформулировать правильное понятие причинно-следственной связи, поэтому правильное физическое понятие встраивания требует сопоставления границ.
Рон, в первой строке вопроса ОП задается вопрос о симплектической структуре фазового пространства ОТО и о том, имеет ли оно форму Лиувилля. В моем ответе после вступительного абзаца о том, чем на самом деле является фазовое пространство, обсуждаются обе эти структуры фазового пространства.
@Urs: Да, я следил за вопросом из версии обмена стеками физики, и настоящей проблемой для меня был вопрос о том, как вы классически определяете голографическую динамику на небольшом участке горизонта. Этот ответ отвечает на слишком формальную форму вопроса, как он появляется здесь, и я не могу жаловаться, что вы не ответили на вопрос, который не был задан.
Ссылка Црнкович-Виттен мертва: 404 не найдено :(
Привет! Отличный ответ! Извините, я опоздал на 7 лет, но не могли бы вы прокомментировать мой связанный с этим вопрос? физика.stackexchange.com/q/382195
Симплектическая структура общей теории относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v