Система шкивов. Зачем мне ставить минус?

Да, это нужно знать заранее. Вот как вы это делаете: в первом уравнении, которое вы написали,$a$положительно, если объект движется выше по склону. Если этот объект переместится выше по склону, объект, висящий на веревке, пойдет вниз. Это означает, что положительный$a$и, соответственно, положительная сила будет направлена ​​вниз. Таким образом, ваше уравнение не должно быть$T-m_2g=m_2a$но$m_2g-T=m_2a$.

$T$имеет положительное направление в обеих системах отсчета

Это неправильно.$T$является скалярным свойством веревки и не имеет направления. Крепление веревки к массам создает силу, действующую на массу, и у нее есть направление.

Величина$T$и приложенная сила одинаковы, но направление приложенной силы необходимо учитывать в вашей ссылке.

Итак, сингл$T$превращается в отдельные силы, воздействующие на две массы, причем эти силы по ходу движения имеют разные направления, поэтому они должны иметь разные знаки.

Лучше написать

Переменные ускорения представляют собой ускорение каждой массы в ее собственной независимой системе координат, поэтому их следует идентифицировать как таковые. Третье уравнение представляет собой уравнение связи , которое устанавливает связь между двумя системами координат. Выбирая одну переменную для представления ускорения обоих, вы упускаете эту связь.

Держите системы координат раздельными и определяйте ограничения явно. Более простые задачи легко уступают подходу выбора определенного набора осей, выбранных для того, чтобы движение казалось простым. Но в сложных задачах с несколькими объектами, соединенными сложным образом, вы сойдете с ума, пытаясь понять «простое» расположение осей, которое упрощает движение и в то же время соблюдает ограничения. Каждый объект получает систему координат; системы связаны уравнениями связи. Это системный подход, который принесет свои плоды в долгосрочной перспективе. На мой взгляд, это хорошая привычка.

В процессе анализа таких задач важно выбрать положительные и отрицательные направления для векторных величин, таких как силы и ускорения, и придерживаться этого назначения для всей задачи. В первом уравнении вы выбрали положительное движение вверх по склону, а знак всех сил, действующих на$m_1$нужно соответствовать этому выбору. И на самом деле они есть. Для вашего уравнения для$m_2$, вы выбрали положительное вертикальное направление вверх, и знаки всех сил, действующих на эту массу, должны соответствовать этому выбору. Поскольку вверх является положительным направлением, а блок движется вниз, ускорение в этом случае должно быть выбрано отрицательным. Векторные величины, такие как силы и ускорения, имеют величину И направление.

Нет абсолютно ничего плохого в вашем выборе осей, за исключением того, что правый набор осей, возможно, должен быть помечен.$Y'$а также$X'$.

При этом два уравнения движения таковы:

Вы заметите тонкое отличие моего второго уравнения от вашего второго уравнения, где я записал ускорение как$a'$в заштрихованном наборе координат.

Проблема с точки зрения решения этих уравнений заключается в том, что у вас есть только два уравнения, но три неизвестных.$a, a'$а также$T$.

Здесь вы должны понимать, что струна накладывает ограничение на систему двух масс, и это ограничение зависит только от геометрии системы.
То, что вы сделали, - это неправильное применение ограничения, и ответ на ваш вопрос "Должен ли я знать это заранее?" равно "Да", иначе вы не сможете применить ограничение.

Так как же применить ограничение в этом случае?
Вы замечаете, что смещение бруска на пандусе, прикрепленного к левому концу нерастяжимой нити, в положительную сторону$X$направлении приводит к смещению блока справа, прикрепленного к правому концу струны, в отрицательную сторону.$Y'$направление.
Дифференцирование перемещений по времени один раз дает вам связь между скоростями двух блоков в их разных системах координат и еще раз их ускорениями, приводящими к условию ограничения

Ваша проблема отчасти связана с вашим размещением осей на диаграмме. Хотя они и не являются неверными, они могут привести к путанице, которую вы испытали. Как сказал мой школьный учитель физики, «шкивы изгибают оси». Вы можете визуализировать это следующим образом: поскольку вы выбрали положительную ось X, чтобы указать вверх по склону, положительная ось X должна оставаться параллельной веревке. Когда веревка проходит вокруг шкива, а затем прямо вниз, ось x также «изгибается» и указывает вниз. Это означает, что, где$m_2$находится, ось x направлена ​​вниз, а не вверх и вправо. Отрицательный знак естественным образом следует после того, как вы выберете систему координат таким образом.

Нет, это не обязательно знать заранее...

Просто предположим одно направление, допустим, что$m_2$идет вниз тогда по ограничению$m_1$поднимается вверх, теперь составим уравнения в виде

и получить ответ

Если в случае, если вы предположили противоположное направление, то ответ автоматически будет отрицательным.

В вашем решении ваша ошибка заключается в том, что вы взяли оба из них, идущих вверх, что неверно по ограничению, а также практически невозможно.

У меня вопрос: должен ли я знать это заранее?

Нет. Предполагается, что вы считываете это с вашей системы координат .

Если система разгоняется из состояния покоя так, что$m_1$направляется вверх по рампе, затем скорость и ускорение$m_1$находятся в направлении +x, а те,$m_2$находятся в -у направлении.

Это (неправильная) особенность используемых вами систем координат.

Откровенно говоря, для этого класса задач я предпочитаю использовать систему координат для$m_2$чтобы его движение было вдоль оси x и имело тот же смысл, что и блок на рампе (то есть я выполняю параллельный перенос своей системы координат вдоль струны, чтобы$y$-ось для$m_2$указывает вправо, в то время как$x$-ось направлена ​​вниз).

Пока мы на этом, я должен отметить, что аргумент о нерастяжимой струне только показывает вам, что величина двух перемещений/скоростей/ускорений одинакова, потому что шкив позволяет их направлениям различаться. Что, я полагаю, вы поняли, но иногда полезно сделать это явным.

Вам нужно будет использовать интуицию, чтобы понять смысл знака.$m_2a$. Проведите небольшой эксперимент в своей голове. Если бы я двигался/ускорялся$m_2$в положительном направлении y в своей системе координат, какое направление будет$m_1$двигаться/ускоряться по оси x? Он должен был бы двигаться влево, что является отрицательным направлением. Если бы я должен был двигаться$m_2$в отрицательном направлении y,$m_1$нужно будет двигаться вправо, в положительном направлении x. Поскольку эти направления противоположны, вам нужен отрицательный знак.

На самом деле не имеет значения, в каком направлении перемещаются блоки в конце, но вы должны быть последовательны в обоих кадрах. Если вы будете последовательны, но выберете неправильное направление, вы просто получите отрицательное ускорение, что не является проблемой.

Если бы вы использовали единую систему координат для описания поведения этой системы, каната, шкива и всего остального, то вам не пришлось бы обращать на это внимание. Вы бы просто суммировали все векторы вместе, и знаки рассортировались бы сами собой. Грубая сила хороша в этом смысле. Однако, чтобы использовать этот подход, вам придется учитывать поведение веревки, нормальные силы на шкиве и множество других вещей, которые сделают уравнения более сложными, чем вам хотелось бы (например, потенциально придется интегрировать вдоль путь веревки вокруг шкива!). Этот подход, использующий две системы координат, использует преимущество симметрии задачи: натяжение веревки, которое везде на веревке одинаково. Воспользовавшись этим, мы можем упростить многие детали, но за это придется заплатить небольшую цену. Мы должны убедиться, что наше использование переменных согласовано между кадрами. В противном случае ярлык просто не работает.

Да, вы должны знать , что если$m_1$перемещается вверх по плоскости на определенное расстояние, а затем$m_2$будет двигаться вниз на такое же расстояние с теми же последствиями для скорости и ускорения. Это следует из того, что веревка описывается как нерастяжимая .

Как и в математике, в физике предполагается, что вы знаете свойства используемых элементов или понятий , а также общие следствия этих свойств.

Ваш выбор систем координат сбивает с толку, но это не имеет значения здесь, потому что вы на самом деле ими не пользуетесь! Ваши уравнения почти верны - как показывает ответ @garyp. Недостатком является ваше непоследовательное использование направления для ускорения$a$. В то время как напряжение$T$в веревке действует в противоположных «направлениях» на$m_1$а также$m_2$, движения$m_1$а также$m_2$должны быть последовательными в одном и том же «направлении» в соответствии с ограничением, налагаемым нерастяжимостью веревки.

Вы не должны знать заранее, что$m_2$пойдет вниз и$m_1$пойдет правильно.

Вы должны знать следующее: если$m_1$идет вниз,$m_2$пойдет вверх; если$m_2$Продолжается,$m_1$идет вниз. Это очевидно, глядя на картинку.

Ваша ошибка заключается в предположении, что две массы имеют одинаковое ускорение, тогда как на самом деле их ускорения противоположны (в выбранных вами системах отсчета).

Это станет намного яснее, если вы не будете использовать одну переменную$a$, скорее$a_1$для ускорения$m_1$а также$a_2$для ускорения$m_2$. Если$a_1$положительно, тогда$a_2$отрицательно, а если$a_1$тогда отрицательно$a_2$положительный, поэтому то, что у вас есть, не$a_1=a_2$скорее$a_1=-a_2$.

Конечно, вы могли бы выбрать направления осей, при которых два ускорения имеют одинаковые знаки, но тогда, конечно, силы были бы инвертированы для одного из тел, что привело бы к тому же результату.

Главное, о чем следует помнить, это то, что большинство математических функций для человека-физика являются скалярными функциями. Уравнения физики являются векторами. Разница в том, что векторы имеют направление. При сравнении функций, если одна идет вверх, а другая вниз, одна должна быть отрицательной. Если один идет направо, а другой налево, опять же, один должен быть отрицательным. По правде говоря, не имеет значения, что вы определяете как отрицательное, но они должны уравновешиваться.

Хороший пример — скорость. Автомобиль едет со скоростью 50 миль в час, это его скорость. Однако физика интересует скорость, в каком направлении она движется со скоростью 50 миль в час? Скорость — это скаляр, направление не имеет значения. Скорость — это вектор, это скорость + направление. Математика тоже заботится об этом, и в векторной арифметике выражает это таким же образом, но до векторов имеет тенденцию иногда замалчивать это, как и некоторые физические объяснения, не основанные на исчислении.