Я могу дать вам ньютоновский анализ ситуации, который может быть правильным, а может и нет. Если вы хотите ньютоновскую вселенную, то отлично. Если вам нужна общая теория относительности, вам понадобится что-то более сложное.

Пример 1: Квадратный домен

В качестве простого вводного примера предположим, что ваша вселенная представляет собой прямоугольник со сторонами длиной$l$. Другими словами, если вы путешествуете$l$единиц в$x$- или же$y$- направления, вы вернетесь туда, где вы начали.

Рассмотрим объект с массой$m_1$в$p_1=(x_1,y_1)$и второй объект с массой$m_2$в$p_2=(x_2,y_2)$. Для простоты поставлю$y_1=y_2$, поэтому объекты находятся на расстоянии$x=|x_2-x_1|$единицы друг от друга. Чтобы найти силу на$m_1$, мы должны создать бесконечную сумму всех сил на этом объекте от объекта на$p_2$. Давайте сначала посмотрим на силы со стороны$+x$направление. У нас есть

$$\sum F_{+x}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{Gm_1m_2}{(x+il)^2}\tag{1a}$$ Точно так же мы можем сделать то же самое для сил на $m_1$в $-x$направление: $$\sum F_{-x}=\sum_{i=0}^{\infty}-\frac{Gm_1m_2}{((l-x)+il)^2}\tag{1b}$$ Согласно Вольфрам Альфа , сумма $$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(x+il)^2}$$ сходится ¹ , а поскольку $\text{(1a)}$это просто умножить на $Gm_1m_2$, которые должны сходиться. Та же логика справедлива для $\text{(1b)}$, как мы только что вставили $(l-x)$за $x$и умножил на $-1$. Если мы добавим два сходящихся ряда, результирующий ряд также должен сходится. Следовательно, на квадратной области, где массы разделены расстоянием, параллельным стороне, сила конечна: $$\sum F=\sum F_{+x}+\sum F_{-x}$$

Пример 2:$n-1$-мерная сфера (изотропная вселенная)

Это легко обобщается на частный случай. Допустим, мы рассматриваем нашу вселенную как поверхность$n-1$- сфера ² . Другими словами, в нотации конструктора наборов

$$\text{Universe}=\{p(x_1,x_2,\cdots,x_{n}):\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{n}^2}=R,\quad x_1,x_2,\cdots,x_{n}\in \mathbb{R}\}$$ куда $R$это радиус Вселенной. Это $n-1$многомерная вселенная, встроенная в $n$-мерное пространство. В этом $n-1$-мерное пространство, в котором нет выделенного направления, т.е. оно изотропно . Следовательно, для любых двух точек $p_1$а также $p_2$во вселенной мы можем соединить их через одномерную геодезическую , кратчайшее расстояние между ними на сфере. На самом деле будет два пути, идущих в противоположных направлениях, как у нас были пути с длиной $x$а также $(l-x)$. Один будет геодезическим, а другой будет в противоположном направлении. Для конечных $R$, эти пути должны иметь конечную длину, поэтому суммы $\text{(1a)}$а также $\text{(1b)}$должен держать.

Однако будем осторожны. В$q$размеры, сила тяжести падает как

$$F\propto\frac{1}{r^{q-1}}$$ и поэтому в этой вселенной у нас есть $$F\propto\frac{1}{r^{n-2}}$$ Параметр $p=q-1$, Вольфам Альфа, по-видимому, указывает (повторными испытаниями до $p=5$), что этот тип суммы (и, следовательно, полная сила) сходится для всех $p\geq1$, с $p$целое число. Поэтому для всех $n-1$-сферы в двух измерениях и более, сила тяжести должна сходиться (расходится в одном измерении, где $p=0$).

Доказательство для всех односвязных вселенных

Благодаря некоторым комментариям Кингледиона мы можем получить строгое доказательство сходимости на ряде односвязных евклидовых пространств. На этот раз мы имеем дело с обертыванием$n$-мерная вселенная конечного размера ³ :

$$\text{Universe}=\{p(x_1,x_2,\cdots,x_n):p(x_a,x_b,\cdots,x_i,\cdots,x_n)=p(x_a,x_b,\cdots,x_i+l_i,\cdots,x_n),\quad x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}\}$$ оснащен стандартной евклидовой метрикой расстояния $$s=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$$ The $l_i$s может быть одинаковым для всех $i\in\{1,2,\cdots,n\}$, как это было с $n-1$-сферы, а могут быть и другими, как было бы, если бы мы делали пример 1 на прямоугольной области. Вы можете перемещаться по любой декартовой координате на определенное расстояние - и вы можете переопределить систему координат (т. е. вращая ее), что означает, что вы можете двигаться "по диагонали" в примере 1. Вам просто нужно записать новую систему координат с новыми $l_i$с.

Мы запишем наше уравнение чистой силы, как и раньше:

$$\sum F=\sum F_{+x_j}+\sum F_{-x_j}$$ и, как с $\text{(1a)}$, у нас есть $$\sum F_{+x_j}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{Gm_1m_2}{(x_j+il_j)^p}=Gm_1m_2\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(x+il_j)^p}=\frac{Gm_1m_2}{x^p}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(x+il_j)^p}$$ где я установил $p=n-1$. Позволять $l_j=1$, и разреши $x>0$⁴ . Сделайте шаг назад и посмотрите на дзета-функцию Римана , заданную выражением $$\zeta(p)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^p}$$ Теперь для каждого положительного целого числа $i$, $$x+il_j>i$$ по нашим критериям, потому что $il_j\geq i$а также $x>0$. Следовательно, $$\frac{1}{x+il_j}<\frac{1}{i}\implies\frac{1}{(x+il_j)^p}<\frac{1}{i^p}$$ Таким образом, считается, что $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(x+il_j)^p}<\zeta(p)$$ $\zeta(p)$конечен для всех натуральных $p$, поэтому левая сумма конечна и, следовательно, сходится. $i=0$член, который мы убрали, также конечен для $x>0$, и поэтому общая сумма $\sum_{i=0}^{\infty}F_{+x_j}$сходится, как и $\sum_{i=0}^{\infty}F_{-x_j}$. Следовательно, полная сила конечна.

Здесь есть одна важная оговорка. Возьмите точку$p_*\in\text{Universe}$. Двигаться в каком-то направлении$x_i$. Идея замкнутой вселенной предполагает, что когда вы в следующий раз достигнете$p_*$, вы едете в том же направлении, в котором вы ушли. Другими словами, ваш вектор скорости в момент достижения$p_*$снова параллелен вектору скорости, когда вы ушли.

Что, если это было не так? Ну, мы могли бы представить себе топологию, в которой вы уходите$p_*$собирается в$x$-направление, и вернуться к нему из$y$направление. Это вводит совершенно новое направление действия силы. В то время как доказательство сходимости остается в силе, потому что вам придется пройти расстояние$l_x$чтобы закончить полный цикл - вы также должны рассмотреть эту странную силу в другом направлении. Таким образом, гравитация по-прежнему была бы конечной, но . . . странный. Я бы не хотел рассматривать такие случаи.

Больше вселенных

Я не могу обобщить это на все окружающие пространства, хотя подозреваю, что гравитация может сходиться для многих, если не для всех, евклидовых поверхностей. Я не могу сказать больше о многих многообразиях в целом, так как метрика расстояния (для тех многообразий, у которых она есть) вряд ли будет похожа на знакомую евклидову метрику, которую я использовал в доказательстве.

Действительно, для действительно точного ответа здесь понадобилась бы общая теория относительности. Однако я считаю, что для простейших вселенных, использующих ньютоновскую гравитацию, сила гравитации действительно сойдется.

размышления

• В своем ответе Шверн заявил, что скорость света может оказывать влияние, и если предположить, что ньютоновская модель (т. е. что гравитация движется бесконечно быстро) будет иметь другой результат, чем изменение ее так, чтобы гравитация двигалась с некоторой конечной скоростью.$c$. Я обсудил это в чате с kingledion, и я считаю, что это не проблема.

  Возьмите два объекта в точках$p_1$а также$p_2$с массами$m_1$а также$m_2$, куда$p_1,p_2\in\text{Universe}$. Этот юниверс может иметь любую классическую топологию с зацикливанием, которую вы хотите. Вовремя$t=0$, эти объекты находятся на расстоянии$x_0$друг от друга. Однако первый объект движется под некоторым ненулевым углом от геодезической, соединяющей их. Поэтому в любой момент$t'$объекты будут взаимодействовать так, как они были некоторое время до$t'$. Аргумент состоял в том, что это добавит странную компоненту вектора силы, отсутствующую в модели бесконечно быстрой гравитации. Это связано с тем, что силе тяжести потребовалось бы разное количество времени для перемещения по каждой геодезической, в частности, время$t_p=s_p/c$, куда$s_p$это длина геодезической.

  Вот почему это не работает. В обычных задачах ньютоновской физики в нашей причудливой вселенной мы предполагаем, что гравитация действует непосредственно между двумя объектами. Он мгновенно «знает» кратчайший путь между ними в любое время. Это не совсем так. Допустим, гравитация проходит бесконечное количество путей между обоими объектами. Каждый путь$C$имеет расстояние$s_C$, и поэтому требуется время$t_C=s_C/c$для силы путешествовать так далеко. Однако для этого пути мы также можем создать другой путь$C'$с тем же расстоянием, только в противоположном направлении, как если бы что-то переворачивалось вдоль оси. Эта ось здесь является геодезической между двумя точками. Единственные пути, которые не отменяются, — это геодезический и путь, противоположный ему.

  Это означает, конечно, что нам не нужно предполагать, что гравитация «знает», куда идти. Это было бы абсурдно. Точечный объект с массой создает изотропный гравитационный потенциал, поэтому масса в любой точке может его почувствовать. Вы можете определить векторное поле$\vec{a}$в любой точке, дающей ускорение свободного падения. Следовательно, в нашем примере мы знаем, что на объект будет влиять гравитация другого независимо от того, движется он или нет. Мы просто должны понять, что на этот раз пути, которые не сокращаются, — это не исходная геодезическая и ее партнер, а новая геодезическая и ее партнер, соединяющие новое положение и положение другой частицы.

• В этой вселенной теорема Бертрана может не выполняться. Проще говоря, в нем говорится

  есть только два типа потенциалов центральной силы со свойством, что все связанные орбиты также являются замкнутыми орбитами: (1) центральная сила обратных квадратов . . . 2) потенциал радиального гармонического осциллятора.

  Предположим, что наша Вселенная является сферой. Поместите две частицы на противоположные стороны так, чтобы все силы между ними уравновешивались. Они находятся в неустойчивом равновесии. Теперь задайте им ненулевые скорости, чтобы векторы скоростей были точно параллельны. Они будут двигаться по сфере и возвращаться туда, где они начали. Потенциал между ними не был потенциалом обратной квадратичной силы; это было пропорционально$r^{-1}$. Однако орбита все равно была закрыта! Действительно, возьмем на сфере уединенную частицу. Теперь придайте ему ненулевую скорость. Хотя окружающий потенциал равен нулю, орбита замкнута.

  Возможно, это не нарушает теорему Бертрана. Неясно, «связаны» ли эти частицы; между ними нет никакой силы, и поэтому гравитация на самом деле не влияет на них. Однако мы могли бы разместить вокруг сферы три частицы, равномерно разнесенные по окружности. Между любыми двумя существует ненулевая сила, но все они находятся в равновесии, потому что третья частица уравновешивает взаимодействия. Между любыми двумя частицами существует ненулевая сила. Опять же, это может быть не «связанная» орбита, поскольку сила вообще не влияет на движение. Так что не ясно, является ли это обходным путем.

  Я подозреваю, что приведенный выше пример по какой-то причине не работает, по крайней мере, в топологии с двумя сферами. Однако, возможно, есть и другие вселенные, в которых действительно есть исключения из теоремы Бертрана. Изучение соответствующей орбитальной механики было бы интересно. Любой, кто хочет смоделировать орбиты на$(n-1)$-сфера?

---

Заметки

¹ В частности, он сходится по корневому тесту , который вы могли бы сделать вручную, если хотите, и дает нам результат

$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(x+il)^2}=\frac{\psi^{(1)}\left(\frac{x}{l}\right)}{l^2},\quad l\neq0$$ Здесь, $\psi^{(n)}(x)$это $n$-я производная дигамма-функции .
² В этих обозначениях (стандартных в математике) поверхность круга представляет собой односферную $S^1$, поверхность круглого шара является двусферой $S^2$и т. д.
³ Это множество не определяет пространство как односвязное; он ничего не говорит о его общей топологии. Однако эти предположения являются неявными, и их сложнее записать в нотации построителя наборов. Если я смогу найти строгое доказательство для всех евклидовых вселенных, я добавлю его, но это может быть сложно — по крайней мере, на данный момент это не кажется очевидным. Интересная вселенная, исключенная здесь, — это тор, который я, вероятно, мог бы понять, если бы у меня было время; он многосвязный.
⁴ Здесь, $x$действительно дается $$x=|\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2}|$$ куда $\mathbf{x_1}$а также $\mathbf{x_2}$являются векторами положения двух масс.

Используя формулировку Гаусса закона всемирного тяготения. Интеграл внутренней силы по поверхности равен массе внутри нее. Если у вас есть односвязное пространство-время, вы можете расширять свой объем до тех пор, пока он не заполнит все пространство (даже с непростым пространством-временем вы можете заполнить все пространство, кроме нескольких поверхностей и предполагая непрерывную гравитацию, отсутствие сингулярностей). Тогда поверхностный интеграл становится равным 0.

Вселенная должна содержать одинаковое количество положительной и отрицательной массы.

Если мы рассмотрим замкнутую квадратную вселенную, содержащую лишь маленькую массу, то гравитационное притяжение в каждом направлении бесконечно, но они сокращаются, давая конечное гравитационное притяжение. Однако, если масса не сферическая и вращается, приливные силы падают в обратном кубе, масса в оболочке увеличивается с квадратом расстояния. Рассмотрим две оболочки одинаковой толщины, но с радиусом, отличающимся в 10 раз. Тогда как масса 10x далее дает только 1/1000 силы на массу, масса в 100 раз больше и, следовательно, 1/10 силы. Суммарная сила от всех оболочек есть некоторая константа*(1/1+1/2+1/3+1/4...1/n), стремящаяся к бесконечности.

Эти аргументы запрещают любой замкнутой или бесконечной изотропной вселенной с локально нормальной гравитацией существовать бесконечное время без каких-либо демпфирующих эффектов на распространение гравитации.

Я собираюсь предположить, что ваша вселенная не бесконечно стара и следует тем же основным правилам, что и наша.

Если вы смоделировали его как обычное пространство с бесконечной повторяющейся сеткой масс...

С таким подходом есть проблемы. Во- первых, гравитация распространяется со скоростью света . Если ваша Вселенная достаточно велика или расширяется достаточно быстро, у гравитации не будет времени «обернуться». Если да, то он мог сделать это только конечное число раз. Так что нет, вы бы не моделировали это как бесконечную сетку масс.

Даже если бы это было так, сила гравитации падает пропорционально квадрату расстояния. Каждый раз, когда он обвивает вселенную, он становится экспоненциально слабее. Эффект от последующих путешествий по вселенной значительно уменьшается и в сумме дает конечное число (я думаю, это то, что доказывает HDE ).

---

Но допустим, гравитация распространяется мгновенно. Нет никакой дополнительной чистой силы, потому что сила всех этих повторов уравновешивается. Вот почему.

Предположим, что одномерная вселенная имеет ширину 10 единиц. Допустим, у нас есть два объекта, один очень массивный, а другой очень небольшой. Массивный объект находится в 0, маленький - в 5. Таким образом, он чувствует гравитацию массивного объекта на расстоянии 5 единиц.

               *  .
               0  5 10

Эта вселенная обертывается, -10 и 10 одинаковы.

               *  .      
       -10 -5  0  5 10

Это означает, что на 15 справа есть еще один массивный объект.

               *  .        *
       -10 -5  0  5 10 -5  0

Но подождите, есть еще один слева на 25 единиц.

 *  .          *  .        *
 0  5  -10 -5  0  5 10 -5  0

Но подождите, есть еще один справа на 35 единиц.

 *  .          *  .        *  .          *  .
 0  5  -10 -5  0  5 10 -5  0  5  10  -5  0  5

Но подождите, слева есть еще один на 45 единиц.

Но подождите, есть еще один справа на 55 единиц.

Но подождите, слева есть еще один на 65 единиц.

Но ждать...

То, что вы в конечном итоге производите, представляет собой повторяющуюся линию. Справа находится бесконечное количество масс, а слева — бесконечное количество масс. Чистое расстояние между нашим объектом и всеми бесконечными массами равно 0. Вот доказательство, использующее обобщение суммирования Чезаро .

Если просуммировать расстояния между объектами, то получится ряд.

5 - 15 + 25 - 35 + 45 - 55 + 65 - 75 ...

На первый взгляд это расходится, и это так, но мы можем подвести итог. Он колеблется вокруг числа? Посмотрите на их частичные суммы.

5, -10, 15, -20, 25, -30, 35, ...

И взять их средние значения.

5, -5, 5, -5, 5, -5, 5, -5

Все положительные значения сходятся к 5. Все отрицательные значения сходятся к -5. Таким образом, этот ряд можно суммировать до 0. Это тот же метод, который используется, чтобы показать, что 1 - 2 + 3 - 4 ... равно 1/4 .

Чистое расстояние равно 0, но означает ли это, что чистая гравитация равна 0? Я не знаю, как работает гравитация в 1 измерении, но давайте предположим, что она по-прежнему Gm/r^2. Установите G и m равными 1, и мы получим еще один ряд.

d =  5   -   15  +   25  -   35   +   45   - ...
g = 1/25 - 1/225 + 1/625 - 1/1225 + 1/2025 - ...

Это сходится около 0,0367. Без обертывания вселенной было бы притяжение 1/25 или 0,04. Это означает, что есть небольшое отрицательное притяжение около 1/300.

Смысл всего этого в том, чтобы показать, что обертка Вселенной с бесконечно распространяющейся гравитацией может быть решена. Масштабирование его до нескольких измерений выходит за рамки моих математических и физических навыков.