Сколько компонент связности имеется в вакуумном многообразии теории ϕ4ϕ4\phi^4?

Рассмотрим следующую теорию в 1 + 1 размеры

л "=" 1 2 ( ∂ ф ) 2 − λ 4 ( ф 2 − в 2 ) 2 ,

который демонстрирует Z 2 "=" { 0 , 1 } симметрия, ф → − ф , спонтанно нарушенный классическим вакуумом, ф "=" ± в . Наивно мне кажется, что вакуумное многообразие имеет четыре топологически различных сектора, а именно два вакуума выше, а также кинк и антикинк решения.

Однако, поскольку симметрия нарушается, как Z 2 → { 1 } скажем, вакуумный коллектор задается выражением Z 2 { 1 } "=" Z 2 который имеет две непересекающиеся компоненты. Следовательно, должно быть только два топологически различных сектора. Это означает, что некоторые из вышеперечисленных вакуумов могут туннелировать друг в друга.

Поскольку кинк или антикинк не могут туннелировать в плоский вакуум ф "=" ± в , означает ли это, что кинк и антикинк могут туннелировать друг в друга, как и плоский вакуум?

Ответы (1)

Однако, поскольку симметрия нарушается, как Z 2 → { 1 } скажем, вакуумный коллектор задается выражением Z 2 { 1 } "=" Z 2 который имеет две непересекающиеся компоненты. Следовательно, должно быть только два топологически различных сектора.

Это отсутствие гипотезы. Сказать г – группа симметрии; г 0 является группой изотропии Икс , множество всех основных состояний.

Затем г / г 0 изоморфен Икс если г действует транзитивно на X . В вашем примере г "=" Z 2 не действует транзитивно на { перегибы, другой вакуум  } потому что нет г е Z 2 который соединяет перегибы с другим вакуумом. Вы можете определить два набора, которые удовлетворяют этому требованию, а именно { перегибы } и { другой вакуум } которые, как и ожидалось, состоят из 2 ( "=" # Z 2 / 1 )элементов каждый.

редактировать: добавил следующее.

предложение : пусть г быть группой, действующей транзитивно на Икс ; Икс е Икс и г 0 группа изотропии Икс . Затем карта

π : г / г 0 → Икс г г 0 ↦ г Икс
биективен.

доказательство : по инвариантности Икс под г 0 мы видим, что карта корректно определена, т. е. не зависит от представителя г выбрали для класса г г 0 .

Карта инъективна: предположим, что π ( г ) "=" π ( час ) . Из этого следует час − 1 г е г 0 , так час г 0 "=" г г 0 .

Сюръективность: пусть Икс ≠ у е Икс . По транзитивности ∃ г е г такой, что г Икс "=" у . Затем π ( г ) "=" у

Зачем звонишь г 0 группа "изотропия"? Вы имеете в виду оставшуюся группу симметрии? Кроме того, не могли бы вы указать мне ссылку на эту гипотезу? Спасибо.
@NanashiNoGombe, насколько я знаю, название группы «изотропия» является стандартной терминологией. Да, я имею в виду подгруппу G, которая оставляет вакуум инвариантным. Поскольку я не смог найти ссылку, я добавил доказательство в пост.
Сколько компонент связности имеется в вакуумном многообразии теории ϕ4ϕ4\phi^4?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v