Спонтанное нарушение симметрии SU(2)SU(2)SU(2) в вещественных и комплексных скалярных полях

Вот игрушечная задачка, цель которой — помочь мне понять, как разбивать глобальные симметрии на подгруппы и в каких случаях это возможно. Мой вопрос : влияет ли реальное или сложное поле на легкость, с которой глобальные группы симметрии разбиваются на подгруппы?

---

Рассмотрим реальное скалярное поле$\phi$в$\mathbb{3}$представительство$SU(2)$:

$$\mathscr{L} = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^a\partial^{\mu}\phi_a -\frac{1}{2}m^2\phi^a\phi_a -(\phi^a \phi_a - v^2)^2$$

Здесь генераторами являются те, которые соответствуют$SO(3)$, поэтому их возведение в степень дает реальные матрицы вращения,

$$T^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^3 = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

При спонтанном нарушении симметрии поле$\phi^a = \tilde{\phi^a} + s^a$, где$s^a$является действительным вектором, величина которого$v$. Мы будем иметь, что глобальная симметрия нарушается до нетривиальной подгруппы, действующей на$\tilde{\phi^a}$если$s^a$инвариантна относительно подгруппы.

Обратите внимание, что$(r^a) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ v \end{pmatrix}$инвариантен относительно возведения в степень$T^3$; то есть, если у нас есть это$s^a = r^a$, затем$\tilde{\phi^a}$инвариантен относительно$U(1)$подгруппа$SU(2)$Сгенерированно с помощью$T^3$.

Потому что$SU(2)$может вращать любой действительный вектор с величиной$v$на$r^a$, мы всегда можем взять$s^a = r^a$, и так у нас всегда будет$\tilde{\phi^a}$инвариант относительно$U(1)$подгруппа$SU(2)$.

---

Сравните это со сложным скалярным полем$\psi$в$\mathbb{3}$представление:

$$\mathscr{L} = \partial_{\mu}{\psi^{\dagger a}}\partial^{\mu}\psi_a -m^2{\psi^{\dagger a}}\psi_a -({\psi^{\dagger a}} \psi_a - v^2)^2$$

Здесь я возьму генераторы для возведения в степень групповых действий, которые смешивают реальную и мнимую части:

$$T^1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{pmatrix}, \ \ \ T^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

При спонтанном нарушении симметрии поле$\psi^a = \tilde{\psi^a} + s^a$, где$s^a$представляет собой комплексный вектор, величина которого равна$v$. Мы будем иметь, что глобальная симметрия нарушается до нетривиальной подгруппы, действующей на$\tilde{\psi^a}$если$s^a$инвариантна относительно подгруппы.

Обратите внимание, что$(r_\alpha^a) = \begin{pmatrix} 0 \\ ve^{i\alpha} \\ 0 \end{pmatrix}$инвариантен относительно возведения в степень$T^3$для произвольного$\alpha$; то есть, если у нас есть это$s^a = r_\alpha^a$, затем$\tilde{\phi^a}$инвариантен относительно$U(1)$подгруппа$SU(2)$Сгенерированно с помощью$T^3$.

Потому что$SU(2)$не может вращать каждый комплексный вектор с величиной$v$на$r_{\alpha}^a$(Я верю для любого$\alpha$, хотя, пожалуйста, поправьте меня, если я не прав), мы не всегда можем принять$s^a = r^a$, и поэтому мы будем иметь только иногда$\tilde{\psi^a}$инвариант относительно$U(1)$подгруппа$SU(2)$.

---

Эта разбивка правильная? То есть всегда ли мы гарантированно имеем$U(1)$подгруппа сохраняется в первом случае, а во втором не гарантируется наличие$U(1)$подгруппа сохранилась?