Скорость сближения луча света и движущегося объекта

Позвольте мне процитировать формулу сложения релятивистских скоростей для удобства:

$$v_{AB} = \frac{v_A - v_B}{1 + \frac{v_Av_B}{c^2}}\tag{SR}$$ Я предполагаю, что вы интерпретировали эти величины следующим образом:

• $v_A$это скорость светового луча относительно Джорджа
• $v_B$это скорость Грейси относительно Джорджа
• $v_{AB}$скорость луча света относительно Грейси

Если да, то ваша ошибка в третьей интерпретации.$v_{AB}$это скорость светового луча, измеренная Грейси, то есть в системе отсчета Грейси . Это не то же самое, что разница между скоростью светового луча в системе отсчета Джорджа ($v_A$) и скорость Грейси в системе отсчета Джорджа ($v_B$). Это именно то, что люди имеют в виду, когда говорят, что скорости не складываются линейно в специальной теории относительности: тот факт, что скорость A в системе отсчета B не равна скорости A минус скорость B.

Обратите внимание, что если$v_A,v_B\ll c$в приведенном выше уравнении знаменатель очень близок к$1$и формула становится приблизительно

$$v_{AB} = v_A - v_B\tag{Galilean}$$ Галилеевская теория относительности использует это уравнение вместо того, что было в начале поста. Он отлично работает для медленно движущихся объектов.

Ключом к пониманию этого несколько неожиданного результата является то, что формула сложения релятивистских скоростей неприменима к этому расчету .

В качестве примера применения формулы сложения скоростей предположим, что существует объект с (1D) скоростью$\mathbf u$в некоторой инерциальной системе координат.

Теперь, какова скорость$\mathbf u'$ этого объекта в другой инерциальной системе координат, движущейся с (равномерной) скоростью$\mathbf v$относительно другой системы?

Согласно релятивистской формуле сложения скоростей, объект имеет скорость

$$\mathbf u' = \frac{\mathbf u - \mathbf v}{1 - \frac{\mathbf u \mathbf v}{c^2}}$$

в относительно подвижной системе координат. Это гарантирует, что$u' \le c$как вы ожидаете.

---

Однако в этой задаче вас не просят найти скорость объекта,

• вас просят найти скорость, с которой изменяется расстояние между двумя объектами, движущимися относительно инерциальной системы координат.

Хотя эта величина выражается в единицах скорости, она не является скоростью объекта и, следовательно, может быть больше, чем$c$.

Например, рассмотрим два объекта$A$и$B$. Положение объекта$A$в некоторой инерциальной системе координат

$$x_A = vt$$

при этом положение объекта$B$является

$$x_B = -vt$$

где

$$v \lt c$$

Расстояние между объектами в этой системе координат просто

$$d_{AB} = |x_A - x_B| = |vt - (-vt)| = 2vt$$

Тогда скорость изменения этого расстояния равна

$$\frac{d}{dt}(d_{AB}) = 2v$$

Таким образом, скорость изменения расстояния может быть сколь угодно близкой к$2c$.

---

В частном случае рассматриваемой задачи оговорим, что в инерциальной системе координат, в которой Джордж покоится, координаты Грейси равны

$$x_{Gracie} = d_0 + vt$$

а координаты фронта светового луча равны

$$x_\gamma = ct$$

Тогда расстояние между ними

$$d = d_0 + vt - ct$$

и расстояние меняется со скоростью

$$\dot d = v - c < 0$$

то есть расстояние уменьшается со скоростью$c - v$.