Лоренц-преобразование скорости

В системе отсчета$\Sigma$частица имеет скорость$\vec{v} = v \hat{z}$. Какова скорость частицы в системе$\Sigma'$движущийся со скоростью$\vec{u} = u \hat{z}$относительно$\Sigma$?

Берется 4-вектор$v^\mu = \gamma(1,\vec{v}/c) = \gamma(1,0,0,v/c)$и Лоренц-преобразует его согласно:

$$v^{\mu '} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & - \beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \\ 0 \\ \gamma v /c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \gamma^2 (-\beta + v / c ) \end{pmatrix} \cong \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \\ 0 \\ \gamma v' /c \end{pmatrix}$$

и поэтому$v' = \gamma (-u + v).$

Однако известная формула релятивистских преобразований скорости гласит:

$$v' = \frac{v + u}{1 + \frac{v u }{c^2}},$$

что не то же самое, что указано выше. Где я сделал ошибку?