Скорость спутников больше требуемой скорости

Начните со скорости вашего спутника,$v_0$, равно$\sqrt{GM/r}$так что мы получаем круговую орбиту:

Теперь, если мы увеличим скорость,$v > v_0$, спутник будет удаляться от Земли быстрее , чем спутник на круговой орбите, и мы получим эллиптическую орбиту, которая выглядит так (я нарисовал исходную круговую орбиту пунктиром):

В качестве альтернативы, если мы уменьшим скорость,$v < v_0$, спутник будет удаляться от Земли медленнее , чем спутник на круговой орбите, и мы получим эллиптическую орбиту, которая выглядит так:

Во всех случаях орбита представляет собой эллипс с Землей в одной из точек фокусировки. Окружность — это частный случай эллипса, фокусы которого совпадают.

Решить уравнения движения спутника на эллиптической орбите сложнее, чем вы, вероятно, ожидаете. Однако существуют различные удобные уравнения, описывающие аспекты движения. Для наших целей проще всего работать с уравнением vis viva :

$$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$$

где$r$это расстояние от Земли и$a$является большой полуосью эллипса. Если мы изменим это, чтобы получить большую полуось, мы сможем объяснить три приведенные выше диаграммы:

$$a = \frac{r}{2 - \frac{r}{GM}v^2}$$

или:

$$a = \frac{r}{2 - \phi} \tag{1}$$

где:

$$\phi = \frac{r}{GM}v^2$$

Если мы начнем с$v = \sqrt{GM/r}$тогда это сделает$\phi = 1$, и уравнение (1) говорит нам, что$a = r$. Другими словами, большая полуось равна радиусу орбиты, поэтому орбита представляет собой круг.

Теперь сделайте$v > \sqrt{GM/r}$как на второй схеме, то$\phi > 1$и поэтому$a > r$. Большая полуось больше, чем расстояние$r$мы начали с так что у нас есть эллипс шире, чем круговая орбита.

И, наконец, хотя теперь это должно быть очевидно, если мы сделаем$v < \sqrt{GM/r}$как на третьей схеме, то$\phi < 1$и поэтому$a < r$. Большая полуось меньше расстояния$r$мы начали с так что у нас есть эллипс уже, чем круговая орбита.