Устранение путаницы в орбитальной механике

Question

Устранение путаницы в орбитальной механике

math_lover

Когда я вижу задачу орбитальной механики, я вспоминаю из своего «инструментария» следующие вещи:

Угловой момент сохраняется для тела, вращающегося вокруг планеты, поскольку крутящий момент, вызванный силой тяжести, равен 0.
Кинетическая энергия и потенциальная гравитационная энергия в сумме составляют сохраняющуюся величину. Для эллиптической орбиты эта величина составляет половину потенциала на большой полуоси эллиптической орбиты.
Если скорость перпендикулярна плечу момента тела по отношению к планете, центростремительное ускорение может быть полезным.

Теперь у меня следующая проблема:

Искусственный спутник находится на круговой орбите вокруг Луны радиусом $R = kr$ , где $r$ это радиус самой Луны. Кратковременное включение двигателя спутника обеспечивает импульс, который вдвое уменьшает скорость спутника, не изменяя его направления, и это изменяет орбиту на такую, которая просто касается поверхности Луны. Учитывая угловой момент и энергию спутника в апоапсисе и периапсисе новой орбиты, вывести значение $k$ . Попробуйте использовать угловой момент.

Ответ на вопрос видимо $k=7$ , Итак, позвольте мне поделиться своим подходом к этой проблеме с учетом каждого из инструментов, и, возможно, кто-то может указать, что я делаю неправильно.

Во-первых, обратите внимание, что маневр отправляет спутник на эллиптическую орбиту с апогеем. $R$ и перигей $r$ , таким образом, большая ось $R+r$ .

По соображениям центростремительной силы первоначальная скорость корабля перед маневром равна $\sqrt{GM/R}$ так что после маневра это $0.5\sqrt{GM/R}$ .

1. Учитывая угловой момент в апогее и перигее, $m0.5\sqrt{GM/R}R=mv_1r$ .

2. В перигее скорость равна тангенциальной скорости (плечо момента перпендикулярно движению корабля), поэтому мы можем применить центростремительное ускорение, чтобы получить $v_1=\sqrt{GM/r}$ . Объединив это с наблюдением в (1), вы получите $R=4r$ , что неверно.

Применяя закон сохранения энергии, $0.5v^2-GM/d=-GM/(R+r)$ . В апогее, $d=R$ и из (1), $v=0.5\sqrt{GM/R}$ . Подстановка дает правильный ответ $R=7r$ . В перигее, $d=r$ , а из (1) $v=0.5\sqrt{GM/R}R/r$ . Замена этого дает что-то с точки зрения $r$ и $R$ но сам по себе он бесполезен. (По крайней мере, это согласуется с $R=7r$ ).

Таким образом, кажется, что наблюдение в (2) неверно. Но почему? Также угловой момент, по-видимому, не был необходим, хотя в постановке задачи предлагалось его использовать. Итак, каково альтернативное решение с использованием углового момента?

Джон Ренни

Уравнение

v = \sqrt{G M / r}

$v = \sqrt{GM/r}$ верно только для круговой орбиты, поскольку получено в предположении, что ускорение свободного падения равно ускорению по направлению к центру. Это неверно в перигее эллиптической орбиты.

math_lover

@JohnRennie: даже для неравномерного движения верно, что центростремительное ускорение равно

v^{2} / r

$v^2/r$ где

v

$v$ есть тангенциальная скорость. В перигее мы «просто касаемся поверхности Луны», поэтому орбита касается поверхности Луны, поэтому тангенциальная скорость равна полной скорости. Что не так с этим рассуждением?

Джон Ренни

Да, это правда. Но в апогее центростремительное ускорение не равно ускорению свободного падения

G M / r^{2}

$GM/r^2$ . Уравнение

v = \sqrt{G M / r}

$v = \sqrt{GM/r}$ верно только тогда, когда центростремительное и гравитационное ускорения равны.

math_lover

О чем ты говоришь. Радиальная сила всегда

v^{2} / r

$v^2/r$ где

v

$v$ есть тангенциальная скорость. Радиальная сила обеспечивается силой тяжести. Поскольку тангенциальная скорость равна полной скорости в апогее, как указано выше, выражения равны.

Джон Ренни

Радиальное ускорение

v^{2} / r

$v^2/r$ . Гравитационное ускорение

G M / r^{2}

$GM/r^2$ . Если бы они были равны, результирующая сила была бы равна нулю, и объект оставался бы на том же расстоянии от Земли, то есть на круговой орбите. В перигее

v^{2} / r > G M / r^{2}

$v^2/r > GM/r^2$ поэтому чистая сила направлена вовне, и тело движется от Земли. В апогее

v^{2} / r < G M / r^{2}

$v^2/r < GM/r^2$ поэтому результирующая сила направлена внутрь, и тело движется к Земле. Вот почему

r

$r$ переходит на эллиптическую орбиту. Отношение между

v

$v$ и

r

$r$ задается уравнением vis-viva .

math_lover

Вы утверждаете эти вещи, не объясняя, почему. Я даю объяснение, которое противоречит этому, поэтому я хотел бы, чтобы вы указали, что конкретно неверно в следующем аргументе: «Орбита касается поверхности Луны в апогее, поэтому тангенциальная скорость равна полной скорости ... Таким образом, мы можем приравнять центростремительную силу к гравитационной силе.».

Джон Ренни

Уменьшите массу Земли до нуля (очевидно, мысленный эксперимент), чтобы гравитационная сила была равна нулю. Теперь объект будет проходить мимо Земли по прямой линии с постоянной скоростью.

v

$v$ потому что нет гравитации, чтобы притянуть его. В момент наибольшего сближения тангенциальная скорость равна

v

$v$ , поэтому, если расстояние ближайшего сближения равно

r

$r$ радиальное ускорение равно

v^{2} / r

$v^2/r$ . Но подождите, мы только что сказали, что гравитации нет, так что это должно означать

v^{2} / r > G M / r

$v^2/r > GM/r$ потому что

G M / r = 0

$GM/r = 0$ .

Билл Н

Если орбита эллиптическая с эксцентриситетом> 0, радиус кривизны в перигее не является расстоянием от фокуса до перигея, поэтому в

v^{2} / r_{?}

$v^2/r_?$ вы не должны использовать радиус планеты.

Ответы (1)

Устранение путаницы в орбитальной механике

Уравнение $v = \sqrt{GM/r}$ верно только для круговой орбиты, поскольку получено в предположении, что ускорение свободного падения равно ускорению по направлению к центру. Это неверно в перигее эллиптической орбиты.
@JohnRennie: даже для неравномерного движения верно, что центростремительное ускорение равно $v^2/r$ где $v$ есть тангенциальная скорость. В перигее мы «просто касаемся поверхности Луны», поэтому орбита касается поверхности Луны, поэтому тангенциальная скорость равна полной скорости. Что не так с этим рассуждением?
Да, это правда. Но в апогее центростремительное ускорение не равно ускорению свободного падения $GM/r^2$ . Уравнение $v = \sqrt{GM/r}$ верно только тогда, когда центростремительное и гравитационное ускорения равны.
О чем ты говоришь. Радиальная сила всегда $v^2/r$ где $v$ есть тангенциальная скорость. Радиальная сила обеспечивается силой тяжести. Поскольку тангенциальная скорость равна полной скорости в апогее, как указано выше, выражения равны.
Радиальное ускорение $v^2/r$ . Гравитационное ускорение $GM/r^2$ . Если бы они были равны, результирующая сила была бы равна нулю, и объект оставался бы на том же расстоянии от Земли, то есть на круговой орбите. В перигее $v^2/r > GM/r^2$ поэтому чистая сила направлена вовне, и тело движется от Земли. В апогее $v^2/r < GM/r^2$ поэтому результирующая сила направлена внутрь, и тело движется к Земле. Вот почему $r$ переходит на эллиптическую орбиту. Отношение между $v$ и $r$ задается уравнением vis-viva .
Вы утверждаете эти вещи, не объясняя, почему. Я даю объяснение, которое противоречит этому, поэтому я хотел бы, чтобы вы указали, что конкретно неверно в следующем аргументе: «Орбита касается поверхности Луны в апогее, поэтому тангенциальная скорость равна полной скорости ... Таким образом, мы можем приравнять центростремительную силу к гравитационной силе.».
Уменьшите массу Земли до нуля (очевидно, мысленный эксперимент), чтобы гравитационная сила была равна нулю. Теперь объект будет проходить мимо Земли по прямой линии с постоянной скоростью. $v$ потому что нет гравитации, чтобы притянуть его. В момент наибольшего сближения тангенциальная скорость равна $v$ , поэтому, если расстояние ближайшего сближения равно $r$ радиальное ускорение равно $v^2/r$ . Но подождите, мы только что сказали, что гравитации нет, так что это должно означать $v^2/r > GM/r$ потому что $GM/r = 0$ .
Если орбита эллиптическая с эксцентриситетом> 0, радиус кривизны в перигее не является расстоянием от фокуса до перигея, поэтому в $v^2/r_?$ вы не должны использовать радиус планеты.

Ник · Answer 1

После сжигания орбита больше не будет круговой, поэтому радиус больше не будет постоянным.

Точка горения будет аполуном (d) новой орбиты. Точка наибольшего сближения, перилуна (q), будет на противоположной стороне Луны. Большая полуось (а) представляет собой среднее значение аполунального расстояния и перилунного расстояния.

г "=" р

$d = R$

д "=" р_{м о о н}

$q = r_\rm{moon}$

а "=" \frac{г + д}{2} "=" \frac{р + р_{м о о н}}{2}

$a = \frac{d+q}{2} = \frac{ R + r_\rm{moon} }{2}$

Начиная с уравнения vis-viva:

\frac{г м}{4 р} "=" \frac{2 г м}{р} - \frac{г м}{а}

$\frac{Gm}{4R} = \frac{2Gm}{R} - \frac{Gm}{a}$

Решение для аполунического расстояния дает

г "=" р "=" 7 р_{м о о н}

$d = R = 7 r_\rm{moon}$

Также большая полуось (а) после прожига будет:

а "=" \frac{4}{7} р "=" 4 р_{м о о н}

$a = \frac{4}{7} R = 4 r_\rm{moon}$

Устранение путаницы в орбитальной механике

math_lover

Джон Ренни

math_lover

Джон Ренни

math_lover

Джон Ренни

math_lover

Джон Ренни

Билл Н

Ответы (1)

Ник

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Как вывести соотношение обратных квадратов в законе тяготения Ньютона из законов Кеплера?

Работайте круговыми движениями

Закон Кеплера и моя проблема

Орбитальная механика: упадет ли спутник?

Об объектах в свободном падении на МКС

Отсутствие стабильных замкнутых орбит для ньютоновского гравитационного поля в пространственных измерениях d≠3d≠3d\neq 3

проблема закона Кеплера

В каком направлении нужно бросить однородный шар массой 1 кг, чтобы вывести его на более низкую околоземную орбиту? [закрыто]