Слабое взаимодействие нарушает сопряжение заряда

К слабым взаимодействиям относятся только левые нейтрино (и правые антинейтрино). Это означает, что все члены взаимодействия нейтрино в лагранжиане также состоят только из левых частиц (и правых античастиц), поскольку$\bar{\Psi}\gamma^{\mu}\Phi_{R, L} = \bar{\Psi}_{R, L}\gamma^{\mu}\Phi_{R, L}$. Это означает, что начисленные текущие условия$L_{\int}^{CC} = g \bar{l}_{L} \gamma^{\mu}(\nu_{l})_{L}W_{\mu}$нарушает C-инвариантность: нейтрино взаимодействует только с лептоном, а антинейтрино взаимодействует только с антилептоном.

Это легко понять из определения операции зарядового сопряжения в пространстве представлений дираковского типа. Для произвольной полуцелой спиновой функции

$$\Psi^{\mu_{1}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix} \Psi_{a}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}} \\ \Phi_{\dot {a}}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}}\end{pmatrix},$$ (здесь номер индекса вектора соответствует целой части значения спина; Дирак $\frac{1}{2}$спинор имеет нулевые векторные индексы) $$\hat{C} \Psi^{\mu_{1}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix} \Phi_{a}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}} \\ \Psi_{\dot {a}}^{\ \mu_{1}...\mu_{n}}\end{pmatrix}.$$ Как можно показать, $\hat {C} = \gamma_{2}K$(я пренебрег фазой), поэтому $$\frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}\hat{C}\Psi = \left(\frac{1 \pm \gamma_{5}}{2} \right)\gamma_{2}K \Psi = \gamma_{2}K\left(\frac{1 \mp \gamma^{*}_{5}}{2} \right)\Psi^{*} =$$ $$\hat{C}\left( \frac{1 \mp \gamma_{5}}{2} \right)\Psi.$$ Здесь я использовал дираковское представление гамма-матриц (или повторений, связанных с ним матрицей ортогональности), в котором $\gamma_{5}^{*} = \gamma_{5}$. Также я использовал равенство $[\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0$которое выполняется в каждом представлении. Окончательное равенство означает, что если мы действуем на C-инвертированный спинор оператором кирального проектора, левый проектор действует как правый проектор, а правый проектор действует как левый. Это означает, что $\hat{C}$изменяет собственное состояние проектора хиральности на «противоположное».

Это результат частицы утверждения, данного в этом ответе.

Об операторе C-сопряжения.

C-оператор, вообще говоря, переставляет функцию из левого представления спинора типа Дирака в правое представление. Мы должны построить эту конкретную структуру, так как неприводимое представление группы Пуанкаре для полуцелого спина имеет свои особенности (я не хочу уточнять это утверждение, так как оно займет много места; в двух словах, для полуцелое представление спина, мы не можем использовать только 4-векторные индексы). Этот оператор сочетает в себе комплексное сопряжение (которое равно зарядовому сопряжению для представлений с целочисленным спином) и левое и правое представление «сопряжение».

Как видно, этот оператор также изменяет суммарное значение заряда поля дираковского типа. Т.е. если мы построим сохраняющуюся$U(1)$ток, а затем подействуем на него оператором зарядового сопряжения, мы изменим знак этого оператора (в частности, мы изменим электрический заряд).

Возьмем простейший пример — спинор Дирака.$\Psi = \begin{pmatrix} \psi_{a} & \kappa^{\dot {a}}\end{pmatrix}^{T}$. Как ирреп группы Лоренца его можно построить как$\left( \frac{1}{2}, 0\right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2}\right)$(первый относится к$\psi_{a}$а второй относится к комплексно-сопряженным$\kappa^{\dot{a}}$). Оператор зарядового сопряжения (здесь я восстановил обычный фазовый$i$) дает

$$\hat{C}\Psi = i\gamma_{2}\Psi^{*} = \begin{pmatrix} \kappa_{a} & \psi^{\dot{a}}\end{pmatrix}$$ Спинорный ток Дирака равен $j^{\mu} = \bar{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi$, так что если действовать $j^{0}$C-оператором мы дадим $$j^{0}_{c} = ((\hat{C}\Psi )^{\dagger} \hat{C}\Psi) = -\Psi^{T}\gamma_{2}\gamma_{2}\Psi^{*} = \Psi^{\dagger}\Psi .$$ Здесь я использовал тот факт, что спиноры являются грассмановыми, поэтому $\Psi^{T}\Psi^{*} = -\Psi^{\dagger}\Psi$.

Следуя соглашению Пескина и Шредера - правило преобразования спиноров Дирака$\psi(x,t)$под$\cal{C}$и$\cal{P}$даны,

$$\begin{eqnarray} \cal{C}\psi(t,x)\cal{C}^{\dagger} & = & -i(\bar{\psi}\gamma^{0}\gamma^{2})^{\textbf{T}}\\ \cal{C}\bar{\psi}(t,x)\cal{C}^{\dagger} & = & -i(\gamma^{0}\gamma^{2}\psi)^{\textbf{T}}\\ \end{eqnarray}$$ Давайте изучим, как $V^{\mu}\equiv\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$преобразование при зарядовом сопряжении $\cal{C}$.

$$\begin{eqnarray} {\cal{C}}V^{\mu}\cal{C}^{\dagger}& = & {\cal{C}}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi\cal{C}^{\dagger}\\ & = & {\cal{C}}\bar{\psi}\cal{C}^{\dagger}{\cal{C}}\gamma^{\mu}\cal{C}^{\dagger}{\cal{C}}\psi\cal{C}^{\dagger}\qquad\boxed{\text{considering}~\cal{C}^{\dagger}=\cal{C}^{-1}}\\ & = & -i(\gamma^{0}\gamma^{2}\psi)^{\text{T}}\gamma^{\mu}(-i)(\bar{\psi}\gamma^{0}\gamma^{2})^{\text{T}} \\ & = & -\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi = -V^{\mu} \end{eqnarray}$$ Точно так же можно показать, что $A^{\mu}\equiv\bar{\psi}\gamma^{5}\gamma^{\mu}\psi$, преобразовать под $\cal{C}$операция как ${\cal{C}}A^{\mu}{\cal{C}}^{\dagger}= A^{\mu}$. Рассмотрим лагранжиан слабого взаимодействия. $$\begin{equation} {\cal{L}_{\text{weak}}} \approx \frac{\text{G}_{F}}{\sqrt{2}}(V^{\mu}-A^{\mu})(V_{\mu}-A_{\mu}) = \frac{\text{G}_{F}}{\sqrt{2}}(V^2-2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2}) \end{equation}$$ Достаточно изучить, как $V^2-2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2}$трансформировать под $\cal{C}$проверить инвариантность лагранжиана слабого взаимодействия относительно зарядового сопряжения. $$\begin{equation} V^2-2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2} \xrightarrow{\cal{C}} V^2+2V^{\mu}A_{\mu}+A^{2} \neq {\cal{L}_{\text{weak}}} \end{equation}$$ Поэтому лагранжиан слабого взаимодействия не инвариантен относительно зарядового сопряжения.