Сложный вопрос, связанный с нахождением магнитного поля по волновому уравнению для электрического поля и его решению.

Question

Сложный вопрос, связанный с нахождением магнитного поля по волновому уравнению для электрического поля и его решению.

ПОЖАР

Рассмотрим волновое уравнение для линейно $x$ поляризованные волны, распространяющиеся в $\pm z$ направления:

$\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial т^{2}} "=" с^{2} \frac{\partial^{2} {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial г^{2}} \end{matrix}$ $\frac{\partial^2\vec E_x}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2\vec E_x}{\partial z^2}\tag{1}$ Общее решение уравнения $(1)$ является ${\vec{Е}}_{Икс} "=" {\vec{Е}}_{+} (д) + {\vec{Е}}_{-} (с)$ $\vec E_x=\vec E_{+}(q)+\vec E_{-}(s)$ где $\vec E_{+}$ и $\vec E_{-}$ являются произвольными функциями. $д "=" г - с т$ $q=z-ct$ & $с "=" г + с т$ $s=z+ct$

Рассчитайте общий вид магнитного поля через $\vec E_{+}$ и $\vec E_{-}$

Я застрял в самом начале.

У меня есть решение этого вопроса, но проблема в том, что я не могу понять авторское решение.

Поэтому вместо этого я буду задавать вопросы об авторском решении, которое выглядит следующим образом:

Очевидно, мы можем написать
$\begin{matrix} (а) & {\vec{Б}}_{у} "=" {\vec{Б}}_{+} (д) + {\vec{Б}}_{-} (с) \end{matrix}$ $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)\tag{a}$ и $\begin{matrix} (б) & \frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial т} "=" - \frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial г} \end{matrix}$ $\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}=-\frac{ \partial \vec E_x}{\partial z}\tag{b}$ затем $\begin{matrix} (с) & \frac{\partial д}{\partial т} |_{г} \cdot \frac{г {\vec{Б}}_{+}}{г д} + \frac{\partial с}{\partial т} |_{г} \cdot \frac{г {\vec{Б}}_{-}}{г с} "=" - (\frac{\partial д}{\partial г} |_{т} \cdot \frac{д {\vec{Е}}_{+}}{д д} + \frac{\partial с}{\partial г} |_{т} \cdot \frac{д {\vec{Е}}_{-}}{д с}) \end{matrix}$ $\frac{\partial q}{\partial t}\Bigg |_z\cdot\frac{d\vec B_{+}}{dq}+\frac{\partial s}{\partial t}\Bigg |_z\cdot\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\left(\frac{\partial q}{\partial z}\Bigg |_t\cdot\frac{d\vec E_{+}}{dq}+\frac{\partial s}{\partial z}\Bigg |_t\cdot\frac{d \vec E_{-}}{ds}\right)\tag{c}$ $\begin{matrix} (г) & ⟹ - с \frac{г {\vec{Б}}_{+}}{г д} + с \frac{г {\vec{Б}}_{-}}{г с} "=" - \frac{г {\vec{Е}}_{+}}{г д} - \frac{г {\vec{Е}}_{-}}{г с} \end{matrix}$ $\implies -c\frac{d\vec B_{+}}{dq}+c\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\frac{d\vec E_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{-}}{ds}\tag{d}$ поэтому $\begin{matrix} (е) & {\vec{Б}}_{у} "=" \frac{1}{с} [{\vec{Е}}_{+} (д) - {\vec{Е}}_{-} (с)] \end{matrix}$ $\vec B_y=\frac{1}{c}\left[\vec E_{+}(q)-\vec E_{-}(s)\right]\tag{e}$

Я полностью понимаю, как $(\mathrm{d})$ следует из $(\mathrm{c})$ .

Я не понимаю, почему вы "очевидно можете написать $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$ "; Каково происхождение этого уравнения: $(\mathrm{a})$ ? Для меня далеко не очевидно, что вы можете написать $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$ .

Кроме того, каково происхождение уравнения $(\mathrm{b})$ ? Что это значит? Это переформулировка одного из уравнений Максвелла?

Наконец, как $(\mathrm{c})$ следовать из $(\mathrm{b})$ ? Отмечу, что автор использует здесь цепное правило, но я не уверен в логике.

Если бы кто-нибудь мог помочь мне, дав подсказки или разъяснения по любому из вопросов, которые я поднял, я был бы очень признателен.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Благодаря @Farcher я теперь понимаю часть $(\mathrm{a})$ и смог написать собственный ответ по частям $(\mathrm{b})$ и $(\mathrm{c})$ .

РЕДАКТИРОВАТЬ 2:

Единственная часть решения авторов, которую я до сих пор не понимаю, это то, как $(\mathrm{e})$ следует из $(\mathrm{d})$ .

Перестановка $(\mathrm{d})$ у нас есть это

\begin{matrix} (г) & с (\frac{г {\vec{Б}}_{-}}{г с} - \frac{г {\vec{Б}}_{+}}{г д}) "=" - (\frac{г {\vec{Е}}_{-}}{г с} + \frac{г {\vec{Е}}_{+}}{г д}) \end{matrix}

$c\left(\frac{d\vec B_{-}}{ds}-\frac{d\vec B_{+}}{dq}\right)=-\left(\frac{d\vec E_{-}}{ds}+\frac{d\vec E_{+}}{dq}\right)\tag{d}$ мы знаем это

{\vec{Е}}_{Икс} "=" {\vec{Е}}_{+} (д) + {\vec{Е}}_{-} (с)

$\vec E_x=\vec E_{+}(q)+\vec E_{-}(s)$ и

{\vec{Б}}_{у} "=" {\vec{Б}}_{+} (д) + {\vec{Б}}_{-} (с)

$\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$

Перестановка $(\mathrm{d})$ далее я нахожу, что

\begin{matrix} (г) & с \frac{д {\vec{Б}}_{-}}{д с} + \frac{д {\vec{Е}}_{-}}{д с} "=" с \frac{д {\vec{Б}}_{+}}{д д} - \frac{д {\vec{Е}}_{+}}{д д} \end{matrix}

$c\frac{d\vec B_{-}}{ds}+\frac{d\vec E_{-}}{ds}=c\frac{d\vec B_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{+}}{dq}\tag{d}$

Моей первой мыслью было интегрировать обе стороны, но поскольку LHS зависит от $s$ и RHS на $q$ нельзя правильно писать

\begin{matrix} (?) & \int (с \frac{г {\vec{Б}}_{-}}{г с} + \frac{г {\vec{Е}}_{-}}{г с}) г с "=" \int (с \frac{г {\vec{Б}}_{+}}{г д} - \frac{г {\vec{Е}}_{+}}{г д}) г д \end{matrix}

$\int \left(c\frac{d\vec B_{-}}{ds}+\frac{d\vec E_{-}}{ds}\right)ds=\int \left(c\frac{d\vec B_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{+}}{dq}\right)dq\tag{?}$

Так что я застрял на этом этапе.

Может кто-нибудь объяснить мне, как я могу получить результат

\begin{matrix} (е) & {\vec{Б}}_{у} "=" \frac{1}{с} [{\vec{Е}}_{+} (д) - {\vec{Е}}_{-} (с)] \end{matrix}

$\bbox[5px,border:2px solid red]{\vec B_y=\frac{1}{c}\left[\vec E_{+}(q)-\vec E_{-}(s)\right]}\tag{e}$ от

\begin{matrix} (г) & - с \frac{г {\vec{Б}}_{+}}{г д} + с \frac{г {\vec{Б}}_{-}}{г с} "=" - \frac{г {\vec{Е}}_{+}}{г д} - \frac{г {\vec{Е}}_{-}}{г с} ? \end{matrix}

$\bbox[yellow]{-c\frac{d\vec B_{+}}{dq}+c\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\frac{d\vec E_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{-}}{ds}}\tag{d}\,\,?$

СлучайныйПреобразование Фурье

Давайте не будем делать посты похожими на истории изменений .

ПОЖАР

@AccidentalFourierTransform Мне всегда говорили не редактировать вопрос таким образом, чтобы существующие ответы устарели, отныне это цель обновления вопроса с помощью EDIT, чтобы данные ответы все еще оставались в контексте. Вы серьезно говорите мне, что все эти годы я поступал неправильно и должен стереть все правки? Если это так, то я подчинюсь. Мне все равно, есть ли правки или нет, я просто хочу получить ответ на этот вопрос.

СлучайныйПреобразование Фурье

Если вы считаете, что ваше «РЕДАКТИРОВАТЬ» достаточно радикально, чтобы изменить вопрос, это не должно быть редактированием, это должен быть новый вопрос. Если «РЕДАКТИРОВАТЬ» не слишком резко, его следует плавно включить в пост. В любом случае, обновление вопроса с помощью «EDIT» в конце очень не одобряется, особенно когда обновление меняет фокус вопроса и составляет более 50% его длины / содержания.

ПОЖАР

@AccidentalFourierTransform «это должен быть новый вопрос», но вся предыстория и контекст уже есть в этом вопросе. Создание нового вопроса будет означать, что мне придется снова скопировать весь вопрос, а затем просто изменить часть в конце. Это действительно способ справиться с такими ситуациями?

СлучайныйПреобразование Фурье

Да, совершенно нормально иметь несколько постов с одинаковым фоном и контекстом, если они задают разные вопросы. Итак, позвольте мне повторить, чтобы убедиться, что мы находимся на одной странице: если обновление меняет вопрос, это нормально, и рекомендуется создать новую тему. Если обновление не меняет вопрос, вам не следует помещать его в конец сообщения, а включать его непосредственно в сообщение.

ПОЖАР

@AccidentalFourierTransform Хорошо, понял. Если этот сценарий повторится, я скопирую фон и контекст в новый вопрос, спасибо.

Ответы (3)

Сложный вопрос, связанный с нахождением магнитного поля по волновому уравнению для электрического поля и его решению.

Давайте не будем делать посты похожими на истории изменений .
@AccidentalFourierTransform Мне всегда говорили не редактировать вопрос таким образом, чтобы существующие ответы устарели, отныне это цель обновления вопроса с помощью EDIT, чтобы данные ответы все еще оставались в контексте. Вы серьезно говорите мне, что все эти годы я поступал неправильно и должен стереть все правки? Если это так, то я подчинюсь. Мне все равно, есть ли правки или нет, я просто хочу получить ответ на этот вопрос.
Если вы считаете, что ваше «РЕДАКТИРОВАТЬ» достаточно радикально, чтобы изменить вопрос, это не должно быть редактированием, это должен быть новый вопрос. Если «РЕДАКТИРОВАТЬ» не слишком резко, его следует плавно включить в пост. В любом случае, обновление вопроса с помощью «EDIT» в конце очень не одобряется, особенно когда обновление меняет фокус вопроса и составляет более 50% его длины / содержания.
@AccidentalFourierTransform «это должен быть новый вопрос», но вся предыстория и контекст уже есть в этом вопросе. Создание нового вопроса будет означать, что мне придется снова скопировать весь вопрос, а затем просто изменить часть в конце. Это действительно способ справиться с такими ситуациями?
Да, совершенно нормально иметь несколько постов с одинаковым фоном и контекстом, если они задают разные вопросы. Итак, позвольте мне повторить, чтобы убедиться, что мы находимся на одной странице: если обновление меняет вопрос, это нормально, и рекомендуется создать новую тему. Если обновление не меняет вопрос, вам не следует помещать его в конец сообщения, а включать его непосредственно в сообщение.
@AccidentalFourierTransform Хорошо, понял. Если этот сценарий повторится, я скопирую фон и контекст в новый вопрос, спасибо.

ПОЖАР · Answer 1

Для моей собственной справки (и других, если они заинтересованы) я собираюсь расширить то, что @Farcher написал в своем ответе для частей $(\mathrm{b})$ и $(\mathrm{c})$ :

Показать часть $(\mathrm{b})$ из закона Фарадея:

\begin{aligned} \frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial т} & "=" - \vec{\nabla} \times {\vec{Е}}_{Икс} \\ "=" - | \begin{matrix} \hat{я} & \hat{Дж} & \hat{к} \\ \frac{\partial}{\partial Икс} & \frac{\partial}{\partial у} & \frac{\partial}{\partial г} \\ Е_{Икс} & 0 & 0 \end{matrix} | \\ "=" - (\frac{\partial Е_{Икс}}{\partial г} \hat{Дж} - \frac{\partial Е_{Икс}}{\partial у} \hat{к}) \\ "=" - \frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial г} \end{aligned}

$\begin{align}\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}&= -\vec \nabla \times \vec E_x\\&=- \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}\\&=-\left(\frac{\partial E_x}{\partial z }\hat j-\frac{\partial E_x}{\partial y}\hat k\right)\\&=-\frac{\partial \vec E_x}{\partial z}\end{align}$

как $\hat k$ компонент исчезает, так как $E_x$ не зависит от $y$ так что его производная равна нулю.

The $\vec B_y$ имеет только $\hat j$ компонент, поскольку он колеблется в $y$ направление. После взятия ротора электрического поля только $\hat j$ компонент уцелел; так что это имеет смысл, поскольку компоненты вектора должны совпадать для соблюдения равенства.

Следовательно, мы заключаем, что

\frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial т} "=" - \frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial г}

$\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}=-\frac{\partial \vec E_x}{\partial z}$ что действительно является уравнением

(b)

$(\mathrm{b})$

Для части $(\mathrm{c})$ у нас есть

{\vec{Б}}_{у} "=" {\vec{Б}}_{у} ({\vec{Б}}_{+}, {\vec{Б}}_{-})

$\vec B_{y}=\vec B_{y}(\vec B_{+},\vec B_{-})$

{\vec{Б}}_{+} "=" {\vec{Б}}_{+} (д) и {\vec{Б}}_{-} "=" {\vec{Б}}_{-} (с)

$\vec B_{+}=\vec B_{+}(q) \qquad\text{and}\qquad \vec B_{-}=\vec B_{-}(s)$

д "=" д (г, т) и с "=" с (г, т)

$q=q(z,t) \qquad\text{and}\qquad s=s(z,t)$

Таким образом, соответствующая древовидная диаграмма, которая соединяет зависимые переменные вверху с независимыми переменными внизу, выглядит следующим образом:

Из древовидной схемы мы видим, что

\frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial т} "=" \frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial {\vec{Б}}_{+}} \cdot \frac{г {\vec{Б}}_{+}}{г д} \cdot \frac{\partial д}{\partial т} + \frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial {\vec{Б}}_{-}} \cdot \frac{г {\vec{Б}}_{-}}{г с} \cdot \frac{\partial с}{\partial т}

$\frac{\partial\vec B_y}{\partial t}=\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{+}}\cdot\frac{d\vec B_{+}}{d q}\cdot \frac{\partial q}{\partial t}+\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{-}}\cdot\frac{d\vec B_{-}}{d s}\cdot \frac{\partial s}{\partial t}$

Теперь с тех пор

\frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial {\vec{Б}}_{+}} "=" \frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial {\vec{Б}}_{-}} "=" 1

$\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{+}}=\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{-}}=1$ и

\frac{\partial д}{\partial т} "=" - с, \frac{\partial с}{\partial т} "=" с

$\frac{\partial q}{\partial t}=-c\,,\qquad \frac{\partial s}{\partial t}=c$ поэтому я могу написать

\frac{\partial {\vec{Б}}_{у}}{\partial т} "=" - с \frac{г {\vec{Б}}_{+}}{г д} + с \frac{г {\vec{Б}}_{-}}{г с}

$\fbox{$\color{blue}{\frac{\partial\vec B_y}{\partial t}=-c\frac{d\vec B_{+}}{d q}+c\frac{d\vec B_{-}}{d s}}$}$

который является LHS $(\mathrm{c})$

RHS $(\mathrm{c})$ полностью аналогичен методу, используемому для получения LHS. Но для справки я собираюсь подробно расписать шаги.

Подобно тому, как раньше мы

{\vec{Е}}_{Икс} "=" {\vec{Е}}_{Икс} ({\vec{Е}}_{+}, {\vec{Е}}_{-})

$\vec E_{x}=\vec E_{x}(\vec E_{+},\vec E_{-})$

{\vec{Е}}_{+} "=" {\vec{Е}}_{+} (д) и {\vec{Е}}_{-} "=" {\vec{Е}}_{-} (с)

$\vec E_{+}=\vec E_{+}(q) \qquad\text{and}\qquad \vec E_{-}=\vec E_{-}(s)$

д "=" д (г, т) и с "=" с (г, т)

$q=q(z,t) \qquad\text{and}\qquad s=s(z,t)$

Таким образом, подходящая древовидная диаграмма для этого случая:

и из него мы видим, что

- \frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial г} "=" - (\frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial {\vec{Е}}_{+}} \cdot \frac{д {\vec{Е}}_{+}}{д д} \cdot \frac{\partial д}{\partial г} + \frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial {\vec{Е}}_{-}} \cdot \frac{д {\vec{Е}}_{-}}{д с} \cdot \frac{\partial с}{\partial г})

$-\frac{\partial\vec E_x}{\partial z}=-\left(\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{+}}\cdot\frac{d\vec E_{+}}{d q}\cdot \frac{\partial q}{\partial z}+\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{-}}\cdot\frac{d\vec E_{-}}{d s}\cdot \frac{\partial s}{\partial z}\right)$

Теперь с тех пор

\frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial {\vec{Е}}_{+}} "=" \frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial {\vec{Е}}_{-}} "=" 1

$\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{+}}=\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{-}}=1$ и

\frac{\partial д}{\partial г} "=" \frac{\partial с}{\partial г} "=" 1

$\frac{\partial q}{\partial z}=\frac{\partial s}{\partial z}=1$ поэтому я могу написать

- \frac{\partial {\vec{Е}}_{Икс}}{\partial г} "=" - \frac{г {\vec{Е}}_{+}}{г д} - \frac{г {\vec{Е}}_{-}}{г с}

$\fbox{$\color{red}{-\frac{\partial\vec E_x}{\partial z}=-\frac{d\vec E_{+}}{d q}-\frac{d\vec E_{-}}{d s}}$}$

который является RHS $(\mathrm{c})$ .

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 2

Позволять $c=1$ для упрощения записи.

Мы знаем это

Б_{-}^{'} (с) + Е_{-}^{'} (с) "=" Б_{+}^{'} (д) - Е_{+}^{'} (д)

$\boldsymbol B'_-(s)+\boldsymbol E'_-(s)=\boldsymbol B'_+(q)-\boldsymbol E'_+(q)$ где штрих означает дифференцирование.

Обратите внимание, что $s$ и $q$ являются независимыми переменными. LHS зависит от $s$ только, и правая сторона на $q$ только. Таким образом, обе стороны должны фактически быть константами:

\begin{aligned} Б_{-}^{'} (с) + Е_{-}^{'} (с) & "=" α \\ Б_{+}^{'} (д) - Е_{+}^{'} (д) & "=" α \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol B'_-(s)+\boldsymbol E'_-(s)&=\boldsymbol\alpha\\ \boldsymbol B'_+(q)-\boldsymbol E'_+(q) & =\boldsymbol \alpha \end{aligned}$ для некоторого постоянного вектора

α

$\boldsymbol\alpha$ . Эти уравнения тривиально интегрируются:

\begin{aligned} Б_{-} (с) + Е_{-} (с) & "=" α с + β \\ Б_{+} (д) - Е_{+} (д) & "=" α д + γ \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol B_-(s)+\boldsymbol E_-(s)&=\boldsymbol \alpha s+\boldsymbol\beta\\ \boldsymbol B_+(q)-\boldsymbol E_+(q) & =\boldsymbol \alpha q+\boldsymbol\gamma \end{aligned}$ для некоторых постоянных интегрирования

β, γ

$\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma$ .

Отсюда получаем

Б_{у} "=" (Е_{+} (д) - Е_{-} (с)) + г α^{'} + β^{'}

$\boldsymbol B_y=(\boldsymbol E_+(q)-\boldsymbol E_-(s))+z\boldsymbol \alpha'+\boldsymbol\beta'$ с

α^{'} = 2 α

$\boldsymbol\alpha'=2\boldsymbol\alpha$ и

β^{'} = β + γ

$\boldsymbol\beta'=\boldsymbol\beta+\boldsymbol\gamma$ .

Это наиболее общее решение , согласующееся с вашими уравнениями. Граничные условия, которые вы не указали, предположительно заданы $\boldsymbol\alpha'=\boldsymbol\beta'=\boldsymbol 0$ .

Фарчер · Answer 3

а) Электромагнитная волна имеет магнитное поле $B_+/B_-\,\hat y$ колеблется точно в фазе с электрическим полем и под прямым углом к нему $E_+/E_- \, \hat x$ оба из которых находятся под прямым углом к направлению распространения $\hat z$ .

(b) представляет собой закон Фарадея в дифференциальной форме $\dfrac{\partial \vec B}{\partial t}= -\vec \nabla \times \vec E$

(c) является применением цепного правила .

Сложный вопрос, связанный с нахождением магнитного поля по волновому уравнению для электрического поля и его решению.

ПОЖАР

РЕДАКТИРОВАТЬ:

РЕДАКТИРОВАТЬ 2:

СлучайныйПреобразование Фурье

ПОЖАР

СлучайныйПреобразование Фурье

ПОЖАР

СлучайныйПреобразование Фурье

ПОЖАР

Ответы (3)

ПОЖАР

СлучайныйПреобразование Фурье

Фарчер

Можно ли создавать произвольные формы магнитных полей?

ЭМ волны, как они распространяются?

Является ли электрическое поле электромагнитным излучением?

Независимо ли электрическое поле света от магнитного поля света?

Движение электрона в магнитном и электрическом поле [закрыто]

Почему электрические и магнитные компоненты электромагнитной волны не дополняют друг друга? [дубликат]

Линии магнитного и электрического поля между проводниками

Электрическая и магнитная составляющие ядерного ЭМИ

Определить направление электрического и магнитного полей для плоской ЭМ волны.

Направление поля ВВВ по правилу правой руки для электромагнитной волны