Состояние состояний матричного произведения

Каково хорошее обобщение результатов о соответствии между состояниями матричного произведения (MPS) или состояниями спроецированной запутанной пары (PEPS) и основными состояниями локальных гамильтонианов? В частности, какое равенство/аппроксимация типа «если и только если» имеет место?

Я знаю об этой обзорной статье Verstraete, Cirac и Murg, но я чувствую, что некоторые из ее результатов заменены новыми...

Ответы (1)

Краткий обзор связи между MPS/PEPS и локальными гамильтонианами основного состояния:

Сначала направление от MPS/PEPS к гамильтонианам:

  • Каждый MPS/PEPS естественным образом появляется как точное основное состояние локального гамильтониана без фрустраций. («родительский гамильтониан»)

  • Для общих MPS/PEPS это основное состояние будет уникальным.

  • Существует ряд случаев помимо общего, когда можно сделать утверждения о вырождении основного состояния. В частности, для трансляционно-инвариантных МПС вырождение основного состояния всегда постоянно.

  • Для трансляционно-инвариантных MPS всегда есть спектральная щель над многообразием основного состояния; для PEPS это справедливо только в определенных случаях.

И наоборот, от гамильтонианов к MPS/PEPS:

  • Учитывая локальный одномерный гамильтониан с пробелами, его основное состояние хорошо аппроксимируется MPS. (см. [ Hastings '07 ] для масштабирования)

  • Учитывая локальный двумерный гамильтониан, в котором плотность состояний не растет слишком быстро, его основное состояние (а также тепловые состояния) хорошо описывается PEPS (см. [ Hastings '05 ], [ Hastings '07 ] для масштабирования)

Это касается только аналитических соотношений между MPS/PEPS и гамильтонианами. На практике обычно соблюдаются лучшие оценки аппроксимируемости и т. д.

Что касается отношений «тогда и только тогда», я думаю, что все эти результаты строго справедливы только в одном направлении (хотя обычно они могут быть «тогда и только тогда», например, я думаю, что типичные гамильтонианы без щелей не будут иметь основные состояния MPS).

Если вы ищете что-то более конкретное, сообщите нам об этом.

Спасибо за резюме и ссылки. Я думал в том же духе: это типично (но, возможно, не тип «почти для всех»), что соответствие твердое, но вырождения влияют на гамильтонианы и МПС немного по-разному. На самом деле я не ищу ничего более конкретного, и это возникло в ходе обсуждения с моим другом, но это моя любимая тема. Я с радостью получу чек на дождь, когда появятся конкретные вещи (а они случаются!).
Привет @ norbert-schuch, не могли бы вы обновить этот ответ?
несколько месяцев назад появился обширный обзор «Состояния матричного произведения и прогнозируемые состояния запутанных пар: концепции, симметрии и теоремы» Игнасио Сирака, Дэвида Перес-Гарсиа, Норберта Шуха и Фрэнка Верстрате: arxiv.org/abs/2011.12127
Состояние состояний матричного произведения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v