Какая граница пропускной способности канала Шеннона связана с двумя связанными спинами?

Заданный вопрос:

Какова пропускная способность канала Шеннона ? $C$который естественным образом связан с двухспиновым квантовым гамильтонианом$H = \boldsymbol{L\cdot S}$?

Этот вопрос возникает с целью обеспечения четкой и конкретной реализации недавнего вопроса Криса Ферри, озаглавленного « Декогеренция и измерение в ЯМР » . На это также повлияла руководящая интуиция метрологии и декогеренции кубитов Анила Шаджи и Карлтона Кейвса (arXiv: 0705.1002): «Чтобы сделать анализ [квантовых пределов] значимым, мы вводим ресурсы».

И, наконец, разумно надеяться, что на такой простой и естественный вопрос может быть строгий ответ, который также был бы простым и естественным — но, насколько мне известно (несовершенно), такого ответа в литературе не дается.

Определения

Пусть Алиса измеряет и контролирует произвольными локальными операциями спин-$j_\text{S}$частица в локальном гильбертовом пространстве$\mathcal{S}$имея$\dim \mathcal{S} = 2j_\text{S}+1$, при которых спиновые операторы$\{S_1,S_2,S_3\}$определены удовлетворяющие$[S_1,S_2] = i S_3$по-прежнему.

Точно так же пусть Боб измеряет и контролирует произвольными локальными операциями спин-$j_\text{L}$частица в локальном гильбертовом пространстве$\mathcal{L}$имея$\dim \mathcal{L} = 2j_\text{L}+1$на каких спиновых операторах$\{L_1,L_2,L_3\}$определены удовлетворяющие$[L_1,L_2] = i L_3$по-прежнему.

Пусть единственным динамическим взаимодействием между спинами — и, следовательно, основным ресурсным ограничением, действующим на канал связи, — будет гамильтониан$H = \boldsymbol{L\cdot S}$определяется на пространстве продукта$\mathcal{S}\otimes \mathcal{L}$. Кроме того, позвольте Бобу передавать информацию Алисе по классическому каналу связи с неограниченной пропускной способностью, но пусть у Алисы нет другого канала связи с Бобом, кроме канала, который естественным образом индуцируется$H$.

Тогда заданный вопрос сводится к следующему: какова максимальная скорость передачи информации по Шеннону?$C(j_\text{S},j_\text{L})$(в битах в секунду), с которой Алиса может передавать (классическую) информацию Бобу по квантовому каналу, индуцированному$H$?

Повествование

На практике этот вопрос требует строгих и предпочтительно жестких ограничений на пропускную способность канала, связанную с односпиновой микроскопией. Образец спина$S$можно рассматривать как образец спина, который можно модулировать любым желаемым образом, а спин-приемник$L$можно по-разному рассматривать как настроенную схему, микромеханический резонатор или ферромагнитный резонатор, как показано ниже:

Анализ обзора спиновой микроскопии PNAS «Наследие, достижения и перспективы» (2009 г.) можно легко расширить, чтобы получить следующую предполагаемую асимптотическую форму :

Отметим, в частности, что размерность гильбертова пространства со спином приемника Боба$\mathcal{L}$является$\mathcal{O}(\,j_\text{L})$; таким образом, гильбертово пространство экспоненциально большой размерности не связано с приемником Боба. Однако для Алисы и Боба вполне допустимо (например) совместно сжимать свои соответствующие спиновые состояния; в частности, вопрос сформулирован так, что Алиса может получать от Боба инструкции неограниченной сложности в режиме реального времени.

Предпочтительная форма ответа

Ответ в закрытой форме, дающий жесткую границу$C(j_\text{S},j_\text{L})$предпочтительнее, однако демонстрация того, что (например)$\mathcal{O}(C)$задается некоторым замкнутым асимптотическим выражением (см. выше).

Также было бы очень интересно, как с точки зрения фундаментальной физики, так и с точки зрения медицинских исследований, лучше понять, можно ли существенно улучшить вышеупомянутую предполагаемую способность, связанную со спиновой визуализацией и спектроскопией, путем любыми средствами.