В том небольшом количестве физики, которое я изучил до сих пор, кажется, есть (возможно, поверхностная закономерность), которая меня интересовала.
Формула кинетической энергии движущейся частицы имеет вид .
Формула кинетической энергии вращения: .
Формула для энергии, запасенной в конденсаторе: .
Формула для энергии, подводимой к индуктору: .
Наконец, всем известна знаменитая формула Эйнштейна. .
Я понимаю, что есть другие формулы энергии (например, гравитационная потенциальная энергия), которые не принимают эту форму, но есть ли какая-то основная причина, по которой приведенные выше формулы принимают аналогичную форму? Это совпадение? Или есть мотивация для физиков и авторов учебников представлять эти формулы именно так, как они это делают?
Обычно линейные уравнения очень распространены в физике. Что-то вроде
Так что у тебя есть , и т. д.
Теперь просто оказывается, что если вы умножите эти линейные уравнения на небольшое приращение переменной, вы получите выражение для энергии. Почему это происходит, понять не так-то просто. Самое простое объяснение состоит в том, что мы обычно определяем наши переменные таким образом, что сила и подобные величины (например, чистый заряд и т. д.) являются линейными.
Теперь, если вы суммируете линейное уравнение, умноженное на небольшое изменение линейной части, вы получите что-то вроде , который является квадратичным членом формы
Большинство из них (все ваши примеры, кроме , что на самом деле просто так или иначе) возникают в результате интегрирования линейного уравнения, такого как как , и часто это просто соглашение, что мы выбираем линейное отношение, чтобы иметь константу пропорциональности 1, поэтому интеграл имеет константу 1/2 (например, мы могли бы вместо этого выбрать, как мы делаем с площадями круги, иметь и ).
Формула кинетической энергии довольно естественно, потому что движение, которое оно генерирует (через уравнения Эйлера-Лагранжа), является геодезическим движением или «свободным движением». (Я впитал в метрику, .) И я считаю, что это совершенно общее; в качестве конфигурационного пространства было бы принято любое риманово многообразие. Я искал ссылку и нашел это (стр. 119): http://wwwf.imperial.ac.uk/~dholm/classnotes/HolmPart1-GM.pdf
То же самое можно сказать и об угловой кинетической энергии: свободное вращение есть геодезическое движение по многообразию. , если вы используете формулу кинетической энергии в качестве метрики. (У меня есть такая же ссылка для этого комментария.)
Таким образом, общая закономерность (во всяком случае, для первых двух формул) заключается в том, что они являются квадратичными формами, потому что они тайно являются метриками в соответствующем конфигурационном пространстве, и их использование оправдано, поскольку они являются метриками, относительно которых свободное движение является геодезическим движением.
Остальные, я не вижу, вписываются ли они в этот шаблон.