Спинорная интеграция

Я изучаю методы на оболочке для интегралов с одной петлей из этой статьи: Амплитуды петель в калибровочной теории: современные аналитические подходы Бритто. Начиная с формулы (18) объясняется спинорное интегрирование. Сначала импульс петли записывается как

( л ) а а ˙ "=" т λ а λ ~ а ˙ ,
где т е р + и λ , λ ~ являются спинорами с λ ~ "=" λ ¯ . Почему я могу писать л таким образом?

Я знаю разложение п "=" λ λ ~ для импульсов с п 2 "=" 0 , но импульс петли не светоподобн. Я предполагаю, что дельта Дирака в подынтегральном выражении помещает его в оболочку, но тогда при чем тут т родом из?

Далее интеграл по импульсу петли превращается в интеграл по спинорам:

∫ г 4 л дельта ( + ) ( л 2 ) ф ( л ) "=" − ∫ 0 ∞ т 4 г т ∫ λ ~ "=" λ ¯ ⟨ λ г λ ⟩ [ λ ~ г λ ~ ] ф ( т , λ , λ ~ ) .

Может ли кто-нибудь дать вывод этой формулы или дать мне ссылку, где это делается?

Бритто ссылается на статью «MHV Vertices And Tree Amplitudes In Gauge Theory» Качазо, Сврчека и Виттена. Но там я не могу найти объяснения, которое я понимаю.

Ответы (1)

Разложение п "=" λ λ ~ действительно только для нулевых векторов. В петлевых интегралах петлевой импульс обычно может быть вне оболочки, но из-за дельта-функции в этих интегралах вклад вносят только нулевые значения импульса, поэтому достаточно иметь дело с нулевыми импульсами, и их можно разложить на спиноры в Сюда.

Переменная т это всего лишь нормировочный фактор, который должен быть произвольным, реальным и положительным, потому что λ и λ ~ будут играть роль однородных координат, поэтому их нельзя отличить от кратных.

Интеграл — это простая замена переменных на будущем световом конусе.

Правильные ссылки на эти интегралы указаны в цитируемой вами статье, это [28] и [29].

http://arxiv.org/abs/hep-ph/0503132
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0602178

Большое спасибо за ваш ответ. Это проясняет мое замешательство по поводу л "=" т λ λ ~ . Было бы очень хорошо, если бы вы объяснили, как работает замена переменных в интеграле. Вот где я все еще застрял, и я думаю, что это тоже не объясняется в ссылках (возможно, потому, что это слишком тривиально).
Привет! Это может быть сделано с помощью некоторой простой алгебры, но также хорошо заметить, что обе стороны имеют одинаковую опору — это интегралы по будущему световому конусу — и в обоих случаях дельта-функция налагает поддержку на световой конус вместе взятые. с лоренц-инвариантностью однозначно определяет меру с точностью до нормализации (спинорные произведения лоренц-инвариантны, как и дельта л 2 ), поэтому они должны быть равны до нормализации, которую нужно проверить (или поверить). Нормализация может быть проверена либо скучной алгеброй, либо интегрированием конкретной примерной функции.
Спинорная интеграция
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v