S-матрица в КТП Вайнберга

Позвольте мне прояснить путаницу, связанную с картиной Гейзенберга и временной эволюцией. В картине Шредингера состояния развиваются во времени. Но в картине Гейзенберга состояния не развиваются во времени. В системе координат$(t,x^i)$, вы выбираете, скажем, состояние$|\psi(t=0)\rangle$на картине Шредингера как ваше состояние$|\psi\rangle$на картинке Гейзенберга. Но в другой системе координат$(x^{i},t^\prime=t+\tau)$у вас есть государство$|\psi(t^\prime=0)\rangle=|\psi(t=-\tau)\rangle$как состояние на картинке Гейзенберга. т.е. на картинке Гейзенберга в одном кадре состояние$|\psi\rangle=|\psi(t=0)\rangle$, в сдвинутом во времени кадре с$t^\prime=t+\tau$, государство$|\psi^\prime\rangle=|\psi(t=-\tau)\rangle$. Следовательно, если мы применим оператор «перевода времени» к состоянию в изображении Гейзенберга, переходя от одного кадра к другому, это эквивалентно выполнению временной эволюции в изображении Шредингера в данном кадре. Вайнберг ясно упоминает, что он занимается переводом времени, а не эволюцией времени.

Очень важное предложение можно найти в разделе 3.1. Это примерно звучит так: «Чтобы сохранить явную лоренц-инвариантность, векторы состояния не меняются со временем, а вместо этого описывают всю пространственно-временную историю системы». В обычной квантовой механике Шредингера у вас есть зависящий от времени кет.$| \psi (t) \rangle$и оператор эволюции времени, действующий как$e^{-i(t-t_0)H} | \psi (t_0) \rangle = | \psi (t) \rangle.$В этом подходе$| \psi \rangle$не имеет$t$этикетка вообще и$e^{itH}$не следует интерпретировать как оператор эволюции времени, а скорее как перевод времени. Вместо того, чтобы принимать в качестве входного состояния в фиксированное время и возвращать состояние в другое время, он воздействует на одну возможную историю системы, создавая другую возможную историю, в которой все сдвинуто во времени.

В государствах те истории, которые в далеком прошлом совпадают со свободными государствами. Поэтому, если вы сдвинете время как в состоянии, так и в свободном состоянии в будущее на бесконечное количество времени, они должны стать одним и тем же.

Что касается вопроса о домене определения$S$-матрица. Верно, что основное отношение

Сам разобрался прошлой ночью. Я думаю, что это решает проблему, но я также хотел бы услышать точку зрения других людей!

Предположим, у нас есть состояния, представленные волновыми пакетами

$|\Phi_g\rangle=\int d\alpha g(\alpha) |\Phi_\alpha\rangle$и$|\Psi^{\pm}_g\rangle=\int d\alpha g(\alpha) |\Psi^{\pm}_\alpha\rangle$

Тогда подумайте$\langle \Phi_g|S|\Phi_g\rangle$что имеет смысл, поскольку действие$S$находится на волновых пакетах.

Расширение штатов;$\langle \Phi_g|S|\Phi_g\rangle=\int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Phi_\beta|S|\Phi_\alpha\rangle$

Но из отношения

$\int d\alpha g(\alpha) |\Psi_\alpha^\pm\rangle =\Omega(\mp\infty)\int d\alpha g(\alpha) |\Phi_\alpha\rangle$

у нас также есть

$\langle \Phi_g|S|\Phi_g\rangle=\langle \Phi_g|\Omega^\dagger(\infty)\Omega(-\infty)|\Phi_g\rangle=\int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Psi_\beta^{-}|\Psi_\alpha^+\rangle$

Приравнивая, имеем$\int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Phi_\beta|S|\Phi_\alpha\rangle= \int d\beta d\alpha g^*(\beta) g(\alpha) \langle\Psi_\beta^{-}|\Psi_\alpha^+\rangle$

Поскольку это должно быть верно для всех гладких функций$g$в соответствующем диапазоне имеем

$\langle\Phi_\beta|S|\Phi_\alpha\rangle=\langle\Psi_\beta^{-}|\Psi_\alpha^+\rangle=S_{\beta\alpha}$