Какой смысл вводить производящий функционал в слагаемые разложения S-матрицы?

Основная полезность введения производящего функционала заключается в его использовании для вычисления корреляционных функций данной квантовой теории поля.

Ограничим обсуждение теорией одного реального скалярного поля в пространстве Минковского, и пусть$x_1, \dots, x_n$обозначают точки пространства-времени. Центральное значение имеют упорядоченные по времени значения вакуумного ожидания полевых операторов, оцениваемые в таких точках;

$$\begin{align} \langle0|T[\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)]|0\rangle. \end{align}$$ Можно показать, что эти объекты можно получить из производящего функционала, взяв функциональные производные по $J(x_i)$следующее: $$\begin{align} \langle0|T[\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)]|0\rangle = \frac{1}{Z[0]}\left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\right)\cdots \left(-i\frac{\delta}{\delta J(x_n)}\right)Z[J]\Bigg|_{J=0}. \end{align}$$ Этот стандартный факт доказан во многих книгах по КТП. Это часто доказывается с использованием подхода интеграла по путям, что делает довольно прозрачным, почему это правда. Суть аргумента в том, что каждый раз, когда вы берете функциональную производную по отношению к источнику $J(x_i)$, он уменьшает фактор поля $\phi(x_i)$. Деление на $Z[0]$является важной нормировкой, относящейся к вакуумным пузырькам, и установка $J=0$после вычисления соответствующих функциональных производных исключает члены с более чем $n$факторов поля и делает окончательный результат независимым от источника, как это и должно быть.