Интеграл мягких фотонов Вайнберга

Вычисляя скорость испускания произвольного количества мягких фотонов в общем процессе КЭД, Вайнберг выполняет следующий интеграл (уравнения 13.2.8-9):

− π ( п → м ⋅ п → н ) ∫ λ ≤ | д → | ≤ Λ г 3 д → | д → | 3 ( Е н − д ^ ⋅ п → н ) ( Е м − д ^ ⋅ п → м ) "=" 2 π 2 β н м п ⁡ ( 1 + β н м 1 − β н м ) п ⁡ ( Λ λ )

где

β "=" 1 − м н 2 м м 2 ( п → н ⋅ п → м ) 2 .

Я пытаюсь вычислить этот интеграл для себя, но у меня возникли проблемы с угловым интегралом. Не мог бы кто-нибудь оказать мне помощь?

Ответы (1)

Я думаю, что решил это; к сожалению у меня нет времени делать все манипуляции после вычисления интеграла.

Перейдем к сферическим координатам

я "=" − π ( п → м ⋅ п → н ) ∫ г д г ф грех ⁡ ( ф ) г θ 1 д 1 ( Е н − п н потому что ⁡ ( ф ) ) ( Е м − п м потому что ⁡ ( ф ) )

Следует, что:

я "=" − π ( п → м ⋅ п → н ) п ⁡ ( Λ λ ) 2 π ∫ 0 π г ф грех ⁡ ( ф ) ( Е н − п н потому что ⁡ ( ф ) ) ( Е м − п м потому что ⁡ ( ф ) )

Теперь давайте изменим переменные

Икс "=" потому что ⁡ ( ф ) г Икс "=" − грех ⁡ ( ф ) г ф
так что у нас есть
я "=" − 2 π 2 ( п → м ⋅ п → н ) п ⁡ ( Λ λ ) ∫ − 1 1 г Икс 1 ( Е н − п н Икс ) ( Е м − п м Икс )

Теперь нам нужно сделать следующий шаг:

А ( Е н − п н Икс ) + Б ( Е м − п м Икс )
вы обнаружите, что
А "=" − п н Е н п м − Е м п н Б "=" п м Е н п м − Е м п н

Тогда легко увидеть, что

я "=" 2 π 2 ( п → м ⋅ п → н ) п ⁡ ( Λ λ ) [ А п н п ⁡ ( Е н − п н Икс ) + Б п м п ⁡ ( Е м − п м Икс ) ] − 1 1
делая А и Б явно получаем:
я "=" 2 π 2 ( п → м ⋅ п → н ) Е н п м − Е н п н п ⁡ ( Λ λ ) [ − п ⁡ ( Е н − п н Икс ) + п ⁡ ( Е м − п м Икс ) ] − 1 1
поэтому
я "=" 2 π 2 ( п → м ⋅ п → н ) Е н п м − Е н п н п ⁡ ( Λ λ ) [ п ⁡ ( Е м − п м Е н − п н ) + п ⁡ ( Е н + п н Е м + п м ) ]
а затем нужно просто переставить факторы удобным способом. Я надеюсь, что это помогло!

Почему угол между q и pm и q и pn должен быть одинаковым (фи)?
Интеграл мягких фотонов Вайнберга
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v