Спонтанно сломанная линейная сигма-модель в Peskin & Schroeder: где чудо?

Я считаю, что они делают здесь педагогический вывод, который для вас может быть интуитивным/очевидным.

Смысл этого раздела в том, что в лагранжиане может быть больше разных членов, чем свободных параметров, и эти разные члены дадут начало различным расходящимся диаграммам, но если эти разные члены связаны симметрией, то и их расходящиеся диаграммы будут такими же. . Следовательно, вам потребуется меньше перенормирующих контрчленов, чем вы можете ожидать. Авторы намекают на это в последнем абзаце введения к главе 11.

Например, лагранжиан линейной сигма-модели имеет только$3$параметры ($\mu^2$,$\lambda$, и предполагаемая общая напряженность поля), но технически$N+N+\frac{N(N+1)}{2}$отдельные термины. В таком случае можно было бы наивно задаться вопросом: «Чтобы перенормировать эту теорию, нужно ли мне$3$контрусловия или$N+N+\frac{N(N+1)}{2}$контртермины?" Конечно, есть$O(N)$симметрия, связывающая термины, сводящая число различных терминов к$3$, так что на данный момент приятно, но не слишком удивительно знать, что нам нужно только$3$контртермины, чтобы полностью перенормировать теорию.

Но тогда ситуация усложняется: что, если эта симметрия исходного лагранжиана не сохраняется (настоящим) вакуумом? В этом случае, чтобы сделать стандартную теорию возмущений, нам нужно будет расширить наши поля/лагранжиан относительно состояния вакуума, скрывая симметрию исходного лагранжиана. Выполнив пертурбативное расширение в наших новых полях (для расчета, скажем, диаграмм 1PI), мы теперь получим разные диаграммы с (потенциально) разными расходимостями. Показано, что это происходит в линейной сигма-модели. Теперь, когда у нас больше нет явной симметрии исходного лагранжиана, нужны ли нам дополнительные перенормирующие контрчлены? Авторы показывают, что в однопетлевом порядке в линейной сигма-модели только$3$нужны контртермины, не более.

Еще один момент этой главы, на который указал д-р Захос в своих комментариях, — это понятие аномального спонтанного нарушения симметрии, которое на самом деле (я полагаю) не имеет отношения к «чуду» необходимости всего трех контрчленов, но, тем не менее, очень интересно и интересно. важный. Линейная сигма-модель с$\mu^2=0$не имеет никаких аномалий$O(N)$нарушение симметрии, как утверждают авторы (последний аргумент в пользу этого приведен в разделе 13.2), но существуют и другие КТП, демонстрирующие аномальное нарушение симметрии, например модель Коулмана-Вайнберга, которую вы можете изучить в «финальном проекте » Часть 2 Пескина и Шредера.

Перенормировка означает расщепление параметров теории (напряженности поля, заряда) на физические и контрчлены. Количество и тип этих параметров ограничены симметриями исходного лагранжиана.

В нарушенной симметрии уже не очевидно, какую форму имел исходный лагранжиан, еще менее очевидно то, что для его перенормировки пришлось бы ввести конечное число контрчленов, поскольку нет очевидных симметрий, ограничивающих их.