Две теории, а именно "градиентная модель"$\partial_\mu\pi \bar{\Psi}\gamma^5\gamma^\mu\Psi$и модель Юкавы$g\pi\bar{\Psi}\gamma^5\Psi$(оба с массивным$\Psi$), определенно не эквивалентны . Они имеют разные симметрии, спектр и амплитуды рассеяния, следовательно, это физически разные теории . Основная ошибка, которую вы (ОП) делаете, заключается в использовании свободных уравнений движения для фермионов, но это нормально только для внешних ног, а не для виртуальных, которые входят, например, в однопетлевой расчет$\pi$массы, или, как я покажу ниже, в амплитуде рассеяния с промежуточным виртуальным$\psi$обменялись. (Ошибка, которую Космас Захос делал в своем предыдущем ответе и которая частично все еще совершается в незначительно улучшенном ответе, объясняется в моих комментариях к его ответу, я не буду повторять ее здесь).

Градиентная модель действительно инвариантна относительно$\pi\rightarrow \pi+const$что явно запрещает массовый термин для$\pi$. Это не относится к модели Юкавы, где голая масса необходима для удаления квадратично расходящейся массы, создаваемой фермионными петлями. Таким образом, масса физического полюса обычно не равна нулю, за исключением точной настройки.

Что еще более важно, бозоны Голдстоуна (ГБ) — это не просто безмассовые частицы, у них есть различные особенности. Например, мягкие ГБ (это предел исчезновения$\pi$-импульс) дают исчезающие амплитуды рассеяния (так называемое нулевое условие Адлера). Это реализуется для градиентной теории, но не для теории Юкавы. Давайте посмотрим на это более подробно, взглянув на физическую амплитуду рассеяния$\pi\Psi\rightarrow \pi\Psi$. Для теории Юкавы

$$M^{Yukawa}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}=-g^2 \left[\bar{u}(p_2^\prime)\frac{i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)}{s-m^2+i\epsilon}u(p_2)+\mbox{crossed diag.}\right]$$ для $\pi(p_1)\Psi(p_2)\rightarrow\pi(p_1^\prime)\Psi(p_2^\prime)$. То $\gamma^5$были перемещены и упрощены с помощью числителя фермионного пропагатора, т.е. $\gamma^5i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha+m)\gamma^5=-i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)$. Мы могли бы упростить числитель, используя $\gamma_\alpha p_2^\alpha u(p_2)=m u(p_2)$, куда $m$— масса фермиона, но в дальнейшем эта форма более удобна. Существует явный вклад s-канала, а также перекрестная диаграмма, которую мы явно не отображаем.

(отказ от ответственности: я делаю этот расчет вручную на Ipad, надеюсь, он не сильно неверен :-), хотя множители 2 и минус, скорее всего, отключены)

Этот$M^{Yukawa}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}$не исчезает для$p_1\rightarrow 0$потому что, даже если числитель стремится к нулю (а именно$\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)u(p_2)=\gamma_\alpha p_1^\alpha u(p_2)\rightarrow 0$), то же самое и со знаменателем ($s-m^2=2p_{1\alpha} p_2^\alpha\rightarrow0$; здесь я предполагаю, что мы настроили спектр так, чтобы он был одинаковым, т.е.$\pi$масса в модели Юкавы была доведена до нуля вручную, иначе числитель даже не обращался бы в нуль, и сравнение между двумя моделями не имело бы смысла).

С другой стороны, для градиентной теории получаем

$$M^{gradient}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}=\frac{1}{f^2}\left[\bar{u}(p_2^\prime)\frac{i(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)^3}{s-m^2+i\epsilon}u(p_2)+\mbox{crossed diag.}\right]\rightarrow 0$$ что не только отличается (следовательно, две теории физически различны, точка), но и дает исчезающую амплитуду в мягком пределе ГБ $p_1\rightarrow 0$так как числитель можно записать в виде $i\bar{u}(p_2^\prime)(\gamma_\alpha p_1^\alpha+\gamma_\alpha p_2^\alpha-m)^3u(p_2)=i\bar{u}(p_2^\prime)\gamma_\alpha p_1^{\prime\alpha}(\gamma_\beta p_1^\beta+\gamma_\beta p_2^\beta-m)(\gamma_\gamma p_1^\gamma)u(p_2)$, а для сохранения импульса $p_1^\prime\rightarrow 0$слишком.

Вывод таков : две модели различны физически и математически . Теория градиента описывает ГБ, тогда как теория Юкавы описывает скаляр с массой, настроенной на ноль.

Дополнительные правки Я, наконец, нашел несколько раз, чтобы добавить последнее замечание, о котором я упоминал в комментариях, но на самом деле стоит сообщить об этом в полном ответе. Это также связано с ответом @Cosmas Zachos.

Установив, что эти две теории различны, можно задаться вопросом, насколько они различаются и какова связь между ними, учитывая, что простое использование уравнений движения ОП было ошибочным. Ответ очень прост: две теории различаются по нелинейности.$\pi$-уровня, начиная с квадратичного порядка. В частности, утверждается, что теория, данная

$$\mathcal{L}_{new}=\bar{\Psi}(i\gamma^\alpha \partial_\alpha-m e^{-2i\gamma^5\pi/f})\Psi+\frac{1}{2}(\partial_\mu\pi)^2\qquad f\equiv 2m/g\,,$$ что отличается от $\mathcal{L}_{Yukawa}=\bar{\Psi}(i\gamma^\alpha \partial_\alpha-m)\Psi+ig\pi \bar{\Psi}\gamma^5\Psi+\frac{1}{2}(\partial_\mu\pi)^2$начиная с $o(\pi^2)$, фактически эквивалентен градиентной теории $$\mathcal{L}_{gradient}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\pi)^2+\bar{\Psi}(i\gamma^\alpha \partial_\alpha-m)\Psi+\frac{1}{f}\partial_\mu\pi \bar{\Psi}\gamma^5\gamma^\mu\Psi\,.$$ Действительно, достаточно выполнить переопределение поля $\Psi\rightarrow e^{i\gamma^5 \pi/f}\Psi$переместить $\pi$от непроизводного члена к градиенту, исходящему от $\Psi$-кинетический термин.

В качестве окончательной проверки давайте посмотрим на поведение при мягком ограничении.$p_1\rightarrow 0$. Вклады от двух линейных$\pi$вставка вершин похожа на теорию Юкавы, но теперь есть также контактный член, возникающий из экспоненциального расширения,$\frac{2m}{f^2}\pi^2\bar{\Psi}\Psi$, т.е.

$$M^{new}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}=M^{Yukawa}_{\pi\Psi\rightarrow\pi\Psi}+i\frac{4m}{f^2}\bar{u}(p_2^\prime)u(p_2)\,.$$ Теперь в мягком пределе $p_1\rightarrow 0$, у нас есть $p_2^\prime \rightarrow p_2$следовательно, термины Юкавы дают $$M^{Yukawa}_{p_1\rightarrow 0}=-g^2 \left[\bar{u}(p_2)\frac{i\gamma_\alpha p_1^\alpha}{2 p_1 p_2}u(p_2)+\mbox{crossed diag.}\right]=-2ig^2$$ где я это использовал $\bar{u}(p)\gamma^\alpha u(p)=2p^\alpha$. С другой стороны, новый срок контакта в от $\mathcal{L}^{new}$дает
$$i\frac{4m}{f^2}\bar{u}(p_2)u(p_2)=i\frac{8m^2}{f^2}=2i g^2\,,$$ от $\bar{u}(p)u(p)=2m$(нет суммы по двум спиновым ориентациям, мы рассматриваем определенные поляризации). Суммируя два вклада, мы видим, что они исчезают друг из друга в соответствии с условием нуля Адлера.

Но опять же, эквивалентность с градиентной теорией достигается только после модификации теории на$o(\pi^2)$уровень, как показано выше, что соответствует рендерингу$\pi$ГБ. Вместо этого только связь Юкавы предназначена для частиц, не являющихся ГБ.

Вы действительно задаете вопрос о контроле$U(1)_A$симметрия одноароматной σ-модели. Таким образом, вам нужно сначала отобразить симметрию, которую вы действительно исследуете.

Начнем с линейной σ-модели. Схематично (будучи бесцеремонным с общими факторами...),

$${\cal L}_{lin}= i\bar{\Psi}\partial \!\! / ~\Psi +\tfrac{1}{2} \partial \pi \cdot \partial \pi +\tfrac{1}{2} \partial \sigma \cdot \partial \sigma + g \bar\Psi (\sigma +i\gamma_5 \pi) \Psi -V(\pi,\sigma),$$ инвариантный относительно симметрии U(1) _{A ,} $$\delta \Psi= \frac{i}{2}\theta \gamma_5 \Psi,\\ \delta \sigma= \theta \pi,\\ \delta \pi= -\theta \sigma,$$ который вы должны проверить, оставляет неизменными кинетические термины Юкавы; и диктовать это делает это на стабильном потенциале; вы можете выбрать последнее в качестве сомбреро Голдстоуна и т. д., но я предполагаю, что вы знакомы с обезьяньим бизнесом SSB и знаете, как выполнять необходимые полевые смены и т. д.

Соответствующий (на оболочке) сохраняющийся ток равен

$$J_A^{\mu}=-\tfrac{i}{2} \bar\Psi \gamma_5 \gamma^{\mu} \Psi + \pi \partial_\mu \sigma - \sigma \partial_\mu \pi,$$ так $\partial\cdot J_A=0$.

Теперь, предполагая, что потенциальный минимум обеспечивает$\langle \pi\rangle =0$,$\langle \sigma\rangle=-f$и переопределение$\sigma\equiv \sigma ' -f$, ул$\langle \sigma' \rangle=0$, заметьте, это дает фермиону массу m=gf , а σ' - массу, зависящую от произвольной кривизны потенциала V в его минимуме, которую вы можете принять за большую, поэтому скаляр σ' можно сделать произвольно массивным чтобы отделиться от низкоэнергетической модели.

Результатом является связанная низкоэнергетическая σ-модель, практически тривиальная, включающая, что особенно важно, безмассовый голдстон π,

$${\cal L}_{low}= i\bar{\Psi}\partial \!\! / ~\Psi - gf \bar\Psi \Psi +\tfrac{1}{2} \partial \pi \cdot \partial \pi + g \bar\Psi i\gamma_5 \pi \Psi +\sigma' ~ {\mathrm terms},$$ инвариант относительно $$\delta \Psi= \frac{i}{2}\theta \gamma_5 \Psi, \qquad \delta \pi= \theta f ~~~(-{\small \theta \sigma'}), \qquad ({\small \delta \sigma'= \theta \pi}),$$ так что $$J_A^\mu=-\tfrac{i}{2} \bar\Psi \gamma_5 \gamma^{\mu} \Psi + f\partial_\mu \pi ~~~(+{\small \pi\partial_\mu \sigma' - \sigma'\partial_\mu \pi}).$$ Этот отличительный сдвиг в законе преобразования для π идентифицирует его как бозон Голдстоуна.

( Примечание добавлено для решения проблем @TwoBs : на самом деле, остаточный член в варианте здесь отменяется$-\theta \sigma'$изначально исключен из$\delta \pi$, а опущенный$g\bar{\Psi} \sigma' \Psi$в лагранжиане. Я опускаю здесь сверхтяжелые σ, которые все еще необходимы для полной аксиальной инвариантности, хотя здесь и не видны. Тем не менее, амплитуды линейной сигма-модели, конечно, имеют нули Адлера, как хорошо известно; однако задействована вершина ππσ' в потенциале.)

Эта симметрия входит в теорию возмущений и ограничивает ее, а также «защищает» древовидную безмассовость голдстоуновской моды π, поскольку индуцированная для нее масса нарушила бы ее. (На самом деле, гораздо более прозрачная, чем ваша естественно устаревшая модель связи производных, в основном не относящаяся к вопросу. См. VanderBij & Veltman 1984 о ловушках предела бесконечной массы Хиггса.)

Затем вы можете увидеть, что сравнение с ненормализуемой градиентной моделью совершенно бесполезно и его можно избежать. Псевдоскалярный член Юкавы сам по себе содержит в себе все важные составляющие SSB-симметрии и мгновенно становится аксиально-инвариантным с безобидным σ-скаляром Юкавы, а потенциал вашей конструкции, перенормируемый, если хотите, выбран для минимизации наиболее видимых эффектов о. Линейная σ-модель (неабелевым обобщением которой является сектор Хиггса стандартной модели) является прототипом, на котором неизбежно основываются все будущие варианты представлений и корректировок.

Вывод : безмассовая псевдоскалярная связь с фермионом в сохраняющей четность моде Юкавы волей-неволей (или может быть естественным образом повышена до) голдстона аксиального SSB и останется таковой в теории возмущений, если посторонние связи явно не нарушат эту хранимую аксиальную симметрию. .

Добавлена ​​ссылка : историческая статья 1960 года по σ-модели, рассмотренная в большинстве хороших текстов, так же хороша, как и любая другая, для сброса компаса.